Determine las derivadas parciales indicada \[ z=x^{2} \cos 4 y ; x=u^{2} v^{3}, y=u^{3}+v^{3} ; \frac{\delta z}{\delta u}, \frac{\delta z}{\delta v} \]

\( \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{1+3+5+\ldots . \text { to } n \text { terms }}{n^{2}} \)

Exercice 8 : Problème de synthèse On considére la fonction \( f \) dérinie sur \( [0 ;+\infty[ \) par \( f(x)=9 x+(15-2 x) \sqrt{x} \) et la fonction \( g \) définie également sur \( [0 ;+\infty[ \) par \( g(x)=18 \sqrt{x}-6 x+15 \). 1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \( g \). 2. Démontrer, sans la résoudre, que l'équation \( g(x)=0 \) admet une unique solution sur \( [0 ;+\infty[ \) que l'on notera \( \alpha \). 3. Foumir un encadrement au centième de \( \alpha \). 4. En déduire le signe signe de \( g(x) \) pour tout \( x \in[0 ;+\infty[ \). 5. Démontrer que, pour tout \( x \in] 0 ;+\infty\left[\right. \) on a \( f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 \sqrt{x}} \).

\( \lim _ { m \rightarrow + \infty } \frac { m ! + 2 ^ { m } } { ( m + 1 ) ! } \)

\( f ( x ) = x ^ { r } e ^ { - x } \quad y ^ { \prime } ? , y ^ { \prime \prime } ? \)

(i) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(2 n+3)}{(n+2)(2 n+4)} \)