If the odds that a particular horse will win a race are \( 1: 11 \), what is the (a) that the horse will win the race (b) that the horse will lose the race

4 Permutations and Probabilities: 20 pts, Part A: 10 pts. You are tasked with organizing a group of 6 people: Allice, Bob, Charlie, David, Eva, and Frank. How many different ways can you arrange these 6 people in a line? Show your work to receive full credit. Part B: 10 pts. If the arrangement from Part A must have Alice and Bob standing next to each other, what is the probability that Alice and Bob will be next to each other in a random arrangement? Show your work to receive full credit.

4. En un taller mecánico llegan vehículos para una puesta a punto antes de pasar la ITV. Las llegadas siguen un proceso de poisson de promedio de 18 vehículos por hora. Las dimensiones del taller sólo permiten que haya cuatro vehículos y las ordenanzas municipales no permiten esperar en la vía pública. El taller despachó un promedio de 6 vehículos por hora, de acuerdo con una distribución exponencial. Calcule a. Probabilidad de que no haya ningún vehículo en el taller. Calcular las probabilidades. b. Promedio de vehículos en el taller. c. ¿Cuánto tiempo pasa por término medio un vehículo en el taller? d. ¿Cuánto tiempo esperan por término medio los vehículos en cola?

The expected value of betting \( \$ 1 \) on one roulette number is approximately \( -\$ .05 \). What does this mean in practical terms? If many people made this bet over the course of the night, the house would expect to take in approximately a \( 5 \% \) return. If I bet \( \$ 1 \) one time, I would expect to leave the table with approximately 95 cents. I am almost guaranteed to lose this bet I am almost guaranteed to win this bet

3. En un míni mercado se tienen 2 cajeros que siempre están trabajando. La llegada de clientes al míni mercado es de 13 por hora y cada cajero atiende un promedio de los clientes cada 15 minutos. a. Halle Probabilidad de que el sistema esté vacío \( \left(P_{0}\right) \) b. Cuál es el promedio de clientes en el sistema. \( \left(L_{s}\right) \) c. Cuál es el promedio de clientes en la cola. \( \left(L_{q}\right) \) d. Cuál es el promedio del sistema. \( \left(W_{s}\right) \) e. Tiempo promedio en cola. \( \left(W_{4}\right) \)

e. ¿Cuál es la longitud medida de la cola? 5. Un supermercado tiene una caja de pago donde los clientes llegan siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegada de 10 clientes por hora. Los cajeros en la caja procesan a los clientes de acuerdo con una tasa de servicio de 15 clientes por hora. a. ¿Cuántos clientes, en promedio, se encuentran en el sistema? b. ¿Cuánto tiempo, en promedio, pasa un cliente en el sistema? c. ¿Cuántos clientes, en promedio, están esperando en la cola?