Exercice 9 : On considère la suite $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$ définie par:; $$ \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}} $$ 1. Soit un entier $$ n \geq 1 $$. Justifier que pour tout entier $$ k $$ tel que $$ 1 \leq k \leq n $$, on a $$ : \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}} $$. 2. En déduire que pour tout entier $$ n \geq 1, u_{n} \geq \sqrt{n} $$ 3. Déterminer la limite de la suite $$ \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} $$.

Question

Bartlett Watkins · Accepted Answer

1. For all integers $$ k $$ such that $$ 1 \leq k \leq n $$, $$ \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}} $$. 2. For all integers $$ n \geq 1 $$, $$ u_n \geq \sqrt{n} $$. 3. The limit of the sequence $$ (u_n)_{n \geq 1} $$ is $$ \lim_{n 	o \infty} u_n = \infty $$.

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