QUESTION 1 \( \begin{array}{ll}1.1 & \text { Determine the following limits: } \\ 1.1 .1 & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+e^{x}\right)}{5 x} \\ 1.1 .2 & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{x^{2}-x}\end{array} \)

2. Utilizando el método integración por partes, calcular: a) \( \int 4 x \sec ^{2} 2 x d x \) b) \( \int\left(x^{2}+x+1\right) e^{x} d x \) c) \( \int \ln ^{2} x d x \) d) \( \int e^{2 x} \cos 3 x d x \) e) \( \int \sqrt{t} \ln t d t \) f) \( \int \cos (x) \ln (\sin x) d x \) g) \( \int x^{3} \ln x d x \) 3. Realizar las siguientes integrales de potencias de funciones trigonométricas.

1. Utilizando el método de integración por sustitución, calcular: a) \( \int \frac{(1+\sqrt{x})^{3}}{\sqrt{x}} d x \) b) \( \int \frac{\cot (3+\ln x)}{x} d x \) c) \( \int e^{\tan x \sec ^{2} x d x} \) d) \( \int \frac{\sec z \tan z}{\sqrt{\sec z}} d z \) e) \( \int \frac{2^{\ln x}}{x} d x \) f) \( \int x^{4} \cos \left(x^{5}+1\right) d x \) g) \( \int \frac{3 \cos x}{\sqrt{1+3 \sin x}} d x \) h) \( \int \frac{e^{\sqrt{x}} d x}{\sqrt{x}} d x \)

d) \( \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x= \)

Evaluate the integral \( \int \sin(5t) \cos(5t) \, dt \) by making an appropriate substitution.

a) \( f(x)=\operatorname{In}(4+5 x) \)