Hausaufgabe 33: (Eigenwertproblem und Exponentialmatrix) \( \quad(3+1+2=6 \) Punkte) Zur Behandlung des Spins in der Quantenmechanik benötigt man die sogenannte Pauli-Matrix \[ \sigma=\left(\begin{array}{rr}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right) \] a) Bestimmen Sie ihre Eigenwerte \( \lambda_{1} \) und \( \lambda_{2} \) sowie die zugehörigen Eigenvektoren \( \vec{v}_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \). b) Verifizieren Sie für die von Ihnen gefundenen Eigenwerte und Eigenvektoren jeweils die Gleichung \( \sigma \vec{v}_{i}=\lambda_{i} \vec{v}_{i} \). c) Berechnen Sie die Exponentialmatrix \( e^{i \varphi \sigma} \) für \( \varphi \in \mathbb{R} \).

Q. 2 Solve the following Questions. Simplify \( z=\frac{(3+i)^{2}}{3-i} \) in the form \( a+i b \) where \( i=\sqrt{-1} \) and find the value of \( |z| \).

Dire pour chaque signal s'il est à énergie ou puissance moyenne finie et calculer son énergie totale ou sa puissance moyenne. a) \( x(t)=\left\{\begin{array}{cc}t & 0 \leq t \leq 1 \\ 2-t & 1 \leq t \leq 2 \\ 0 & \text { ailleurs }\end{array}\right. \) b) \( x(t)=5 \cos (\pi t)+\sin (5 \pi t)-\infty<t<+\infty \) c) \( x(t)=\left\{\begin{array}{cc}5 \cos (\pi t) & -1 \leq t \leq 1 \\ 0 & \text { ailleurs }\end{array}\right. \)

Simplify \( z=\frac{(3+i)^{3}}{3-i} \) in the form \( a+i b \) where \( i=\sqrt{-1} \) and find the value of \( |z| \).

Question 67 (2 points) Presence is the subjective feeling of being in a virtual environment where the viewer is unaware of the technological medium through which the environment is being presented. True False Question 68 ( 2 points) This occurs when people are influenced or affected by their digital representations, such as avatars Immersion The SIDE Model Proteus Effect

Which of the following is a characteristic of a master student? a. humorless b. aggressive c. overworked d. caring