احسب التكامل لـ \( \frac{4x^3 - 7x + 5}{2x + 1} dx \) من خلال تطبيق طريقة القسمة الطويلة.

Determina si la integral impropia \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \) converge o diverge.

Sia \( f \in C^{\infty}(R) \) e sia \( f(x)=x^{3}(x+o(x)) \). Allora si ha (a) il polinomio di McLaurin di ordine 4 di \( f \) è \( x^{4} \) (b) \( x^{3} \) è il polinomio di McLaurin di \( f \) di ordine 4 (c) \( f(x)=o\left(x^{4}\right) \) (d) \( f^{(5)}(0) \) non esiste (e) nessuna delle altre affermazioni è corretta

Let \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \). Show that \( f \notin \mathcal{R}[a, b] \) if and only if there exists \( \varepsilon_{0}>0 \) such that for every \( n \in \mathbb{N} \) there exist tagged partitions \( \dot{\mathcal{P}}_{n} \) and \( \dot{\mathcal{Q}}_{n} \) with \( \left\|\dot{\mathcal{P}}_{n}\right\|<1 / n \) and \( \left\|\dot{\mathcal{Q}}_{n}\right\|<1 / n \) such that \( \left|S\left(f ; \dot{\mathcal{P}}_{n}\right)-S\left(f ; \dot{\mathcal{Q}}_{n}\right)\right| \geq \varepsilon_{0} \).

6. Si la derivada de la función \( y \) es \( \frac{d y}{d x}=2 x^{2}-5 x-3, y \) los números críticos de una función son aquellos valores donde la derivada vale cero, entonces los números críticos de la función \( f \) son: \( \begin{array}{ll}\text { a) } c_{1}=\frac{1}{2} & c_{2}=-3 \\ \text { b) } c_{1}=-\frac{1}{2} & c_{2}=-3 \\ \text { c) } c_{1}=\frac{1}{2} & c_{2}=3 \\ \text { (d) } c_{1}=-\frac{1}{2} & c_{2}=3\end{array} \)

La funzione \( f(x)=\sin \left(x^{4}\right)-\sinh \left(x^{4}\right) \) soddisfa \( \begin{array}{l}\text { (a) } f(x) \geq 0 \text { in un intorno di } x=0 \\ \text { (b) } f(x) \leq 0 \text { in un intorno di } x=0 \\ \text { (c) } f(x) \sim x^{4} \text { per } x \rightarrow 0 \\ \text { (d) } f(x)=0\left(x^{12}\right) \text { per } x \rightarrow 0 \\ \text { (e) nessuna delle altre risposte }\end{array} \)