4. The line with equation \( y=2 x+k \) is a normal to the curve with equation \( y=\frac{16}{x^{2}} \). Find the value of the constant \( k \).

\( \log ( 1 + \frac { 1 } { x } ) > \frac { 1 } { x + 1 } \quad x > 0 \)

1.60 iano \( f(x), g(x) \) due funzioni derivabili per \( x>a \). Dimostrare che \( f(x) \leq g(x) \), per ogni \( x>a \), se valgono le due condizioni: \[ f^{\prime}(x) \geq g^{\prime}(x), \quad \forall x>a ; \quad \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 \text {. } \] [Applichiamo il teorema di Lagrange alla differenza \( f-g \) nell' intervallo \( [x, b] \), con \( a<x<b \). Esiste \( \xi \in(x, b) \) per cui \( [f(b)-g(b)]-[f(x)-g(x)]=\left[f^{\prime}(\xi)-g^{\prime}(\xi)\right](b-x) \geq 0 \) Al limite, per \( b \rightarrow+\infty \), otteniamo la tesi \( ] \)

3) \( f(x)=x^{3+\sqrt{2}}+\sqrt[4]{x^{3}} \)

\( [f(b)-g(b)]-[f(x)-g(x)]=\left[f^{\prime}(\xi)-g^{\prime}(\xi)\right](b-x) \geq 0 \) Al limite, per \( b \rightarrow+\infty \), otteniamo la tesi] l. 6 . Consideriamo per \( x>0 \) la funzione \( f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \). Utilizzando le, lisuguaglianze dell'esercizio 1.58 verificare che: (a) la funzione \( f(x) \) è strettamente crescente per \( x>0 \);

Exercice 3 : Suites numériques (4 points) On considère la suite numérique \( \left(v_{n}\right) \) définie par: 1-a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier na- turel \( n: 0<v_{n}<3 \). b) Démontrer que, pour tout entier naturel \( n \) : \( v_{n+1}-v_{n}=\frac{\left(3-v_{n}\right)^{2}}{6-v_{n}} \). c) Démontrer que la suite \( \left(v_{n}\right) \) est convergente. 2. On considère la suite \( \left(w_{n}\right) \) définie par: \( w_{n}=\frac{1}{v_{n}-3} \). a) Démontrer que \( \left(w_{n}\right) \) est une suite arithmétique de raison \( -J / 3 \). b) En déduire l'expression de \( \left(w_{n}\right) \), puis celle de \( \left(v_{n}\right) \) en fonction de \( n \). c) Déterminer la limite de la suite \( \left(v_{n}\right) \).