Explain how to compute a definite integral using the Fundamental Theorem of Calculus.

Sia \( f \in C^{\infty}(R) \) e sia \( f(x)=x^{3}(x+o(x)) \). Allora si ha (a) il polinomio di McLaurin di ordine 4 di \( f \) è \( x^{4} \) (b) \( x^{3} \) è il polinomio di McLaurin di \( f \) di ordine 4 (c) \( f(x)=o\left(x^{4}\right) \) (d) \( f^{(5)}(0) \) non esiste (e) nessuna delle altre affermazioni è corretta

La funzione \( f(x)=\sin \left(x^{4}\right)-\sinh \left(x^{4}\right) \) soddisfa \( \begin{array}{l}\text { (a) } f(x) \geq 0 \text { in un intorno di } x=0 \\ \text { (b) } f(x) \leq 0 \text { in un intorno di } x=0 \\ \text { (c) } f(x) \sim x^{4} \text { per } x \rightarrow 0 \\ \text { (d) } f(x)=0\left(x^{12}\right) \text { per } x \rightarrow 0 \\ \text { (e) nessuna delle altre risposte }\end{array} \)

(2) \( \int \frac{10 x^{2}+6 x+4}{2 x+2} d x \)

3. Sia \( f(x)=x^{7} e^{3 x} \). Allora si ha \( \begin{array}{l}\text { (a) } f^{(8)}(0)=0 \\ \text { (b) } f^{(7)}(0)=0 \\ \text { (c) } f^{(8)}(0)=3 \cdot 8! \\ \text { (d) } f^{(3)}(0)=8 \cdot 3! \\ \text { (e) } f^{(3)}(0)=24\end{array} \)

\( \frac{d}{dx}(5^{1+x^{2}+\frac{1}{36}x^{6}-\frac{1}{3}x^{4}}) \)