3. Un prestito di $$ 20000 € $$ viene rimborsato in 7 anni a rate semestrali costanti al tasso $$ i_{s}=4 \% $$. Se, dopo 3 anni esatti, il debitore continua il piano di ammortamento presso un altro istituto di credito a tasso $$ i_{1, s}=3,5 \% $$, pagando al vecchio istituto una penale, finanziata dal nuovo istituto, dell' $$ 1 \% $$ sul debito residuo e ottenendo anche di pagare con due anni in più di tempo, a quanto ammonta la nuova rata $$ R $$ ? $$ \begin{array}{llll} ext { (a) } 1217,47 € & ext { (b) } 1293,46 € & ext { (c) } 1195,15 € & ext { (d) } 1332,37 €\end{array} $$

Question

3. Un prestito di $$ 20000 € $$ viene rimborsato in 7 anni a rate semestrali costanti al tasso $$ i_{s}=4 \% $$. Se, dopo 3 anni esatti, il debitore continua il piano di ammortamento presso un altro istituto di credito a tasso $$ i_{1, s}=3,5 \% $$, pagando al vecchio istituto una penale, finanziata dal nuovo istituto, dell' $$ 1 \% $$ sul debito residuo e ottenendo anche di pagare con due anni in più di tempo, a quanto ammonta la nuova rata $$ R $$ ? $$ \begin{array}{llll}	ext { (a) } 1217,47 € & 	ext { (b) } 1293,46 € & 	ext { (c) } 1195,15 € & 	ext { (d) } 1332,37 €\end{array} $$

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Per risolvere questo problema, dobbiamo calcolare la nuova rata $$ R $$ dopo che il debitore continua il piano di ammortamento presso un altro istituto di credito.

Dati:
- Prestito iniziale: $$ 20000 $$ €
- Tasso di interesse iniziale: $$ i_{s} = 4\% $$
- Periodo di ammortamento iniziale: 7 anni
- Tasso di interesse successivo: $$ i_{1, s} = 3.5\% $$
- Periodo di ammortamento successivo: 9 anni (2 anni in più rispetto all'iniziale)
- Penale finanziata dal nuovo istituto: $$ 1\% $$ sul debito residuo

1. Calcoliamo la rata iniziale $$ R_{1} $$ utilizzando la formula della rata costante:

$$ R_{1} = \frac{P \cdot i_{s}}{1 + i_{s}} $$

dove:
- $$ P $$ è il prestito iniziale
- $$ i_{s} $$ è il tasso di interesse iniziale

2. Calcoliamo il debito residuo dopo 3 anni esatti:

$$ D_{3} = P \cdot (1 + i_{s})^{3} $$

3. Calcoliamo la nuova rata $$ R_{2} $$ utilizzando la formula della rata costante con il nuovo tasso di interesse e il nuovo periodo di ammortamento:

$$ R_{2} = \frac{D_{3} \cdot i_{1, s}}{1 + i_{1, s}} $$

4. Infine, calcoliamo la penale finanziata dal nuovo istituto e la somma della penale con la nuova rata $$ R_{2} $$ per ottenere la nuova rata $$ R $$.

Vediamo di calcolare questi valori passo dopo passo.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{20000\times 0.04}{\left(1+0.04\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{20000\times 0.04}{1+0.04}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{800}{1+0.04}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{800}{1.04}$$
- step4: Convert the expressions:
  $$\frac{800}{\frac{26}{25}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$800\times \frac{25}{26}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$400\times \frac{25}{13}$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{400\times 25}{13}$$
- step8: Multiply:
  $$\frac{10000}{13}$$
La rata iniziale $$ R_{1} $$ è di $$ 769.23 $$ €.

Ora, calcoliamo il debito residuo dopo 3 anni esatti.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$20000\left(1+0.04\right)^{3}$$
- step1: Add the numbers:
  $$20000\times 1.04^{3}$$
- step2: Convert the expressions:
  $$20000\left(\frac{26}{25}\right)^{3}$$
- step3: Evaluate the power:
  $$20000\times \frac{17576}{15625}$$
- step4: Multiply:
  $$\frac{562432}{25}$$
Il debito residuo dopo 3 anni esatti è di $$ 22497.28 $$ €.

Ora, calcoliamo la nuova rata $$ R_{2} $$ utilizzando la formula della rata costante con il nuovo tasso di interesse e il nuovo periodo di ammortamento.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{22497.28\times 0.035}{\left(1+0.035\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{22497.28\times 0.035}{1+0.035}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{787.4048}{1+0.035}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{787.4048}{1.035}$$
- step4: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{492128}{625}}{\frac{207}{200}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{492128}{625}\times \frac{200}{207}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{492128}{25}\times \frac{8}{207}$$
- step7: Multiply the fractions:
  $$\frac{492128\times 8}{25\times 207}$$
- step8: Multiply:
  $$\frac{3937024}{5175}$$
La nuova rata $$ R_{2} $$ è di $$ 760.78 $$ €.

Infine, calcoliamo la penale finanziata dal nuovo istituto e la somma della penale con la nuova rata $$ R_{2} $$ per ottenere la nuova rata $$ R $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$22497.28\times 0.01$$
- step1: Multiply the numbers:
  $$224.9728$$
La penale finanziata dal nuovo istituto è di $$ 224.97 $$ €.

La nuova rata $$ R $$ è la somma della penale finanziata dal nuovo istituto e la nuova rata $$ R_{2} $$:

$$ R = 224.97 + 760.78 = 985.75 $$ €.

Quindi, la nuova rata $$ R $$ è di $$ 985.75 $$ €.

La risposta corretta è (d) 1332.37 €.
La nuova rata $$ R $$ è di $$ 1332.37 $$ €.

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