(c) $$ \frac{x+1}{2-x}

Question

(c) $$ \frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver a desigualdade $$ \frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x} $$, vamos começar por simplificar as expressões envolvidas.

Vamos começar por simplificar a expressão $$ \frac{x+1}{2-x} $$. Para fazer isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $$ -1 $$ para evitar a presença de um termo negativo no denominador. Isso nos dá:

$$ \frac{x+1}{2-x} = \frac{-(x+1)}{x-2} = \frac{-x-1}{x-2} $$

Agora, vamos simplificar a expressão $$ \frac{x}{3+x} $$. Para fazer isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $$ 3 $$ para evitar a presença de um termo negativo no denominador. Isso nos dá:

$$ \frac{x}{3+x} = \frac{3x}{3(3+x)} = \frac{3x}{9+3x} $$

Agora, podemos substituir essas expressões simplificadas na desigualdade original:

$$ \frac{-x-1}{x-2} < \frac{3x}{9+3x} $$

Vamos resolver essa desigualdade.
Solve the inequality by following steps:
- step0: Solve the inequality by testing the values in the interval:
  $$\frac{-x-1}{x-2}\lt \frac{3x}{9+3x}$$
- step1: Find the domain:
  $$\frac{-x-1}{x-2}\lt \frac{3x}{9+3x},x \in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(-3,2\right)\cup \left(2,+\infty\right)$$
- step2: Rewrite the fraction:
  $$-\frac{x+1}{x-2}\lt \frac{x}{3+x}$$
- step3: Move the expression to the left side:
  $$-\frac{x+1}{x-2}-\frac{x}{3+x}\lt 0$$
- step4: Subtract the terms:
  $$-\frac{2x+2x^{2}+3}{\left(x-2\right)\left(3+x\right)}\lt 0$$
- step5: Change the sign:
  $$\frac{2x+2x^{2}+3}{\left(x-2\right)\left(3+x\right)}\gt 0$$
- step6: Set the numerator and denominator of $$\frac{2x+2x^{2}+3}{\left(x-2\right)\left(3+x\right)}$$ equal to 0$$:$$
  $$\begin{align}&2x+2x^{2}+3=0\&\left(x-2\right)\left(3+x\right)=0\end{align}$$
- step7: Calculate:
  $$\begin{align}&x \notin \mathbb{R}\&x=2\&x=-3\end{align}$$
- step8: Determine the test intervals:
  $$\begin{align}&x<-3\&-32\end{align}$$
- step9: Choose a value:
  $$\begin{align}&x_{1}=-4\&x_{2}=-1\&x_{3}=3\end{align}$$
- step10: Test the chosen value:
  $$\begin{align}&x<-3\textrm{ }\textrm{is the solution}\&-32\textrm{ }\textrm{is the solution}\end{align}$$
- step11: The final solution is $$x \in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(2,+\infty\right):$$
  $$x \in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(2,+\infty\right)$$
- step12: Check if the solution is in the defined range:
  $$x \in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(2,+\infty\right),x \in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(-3,2\right)\cup \left(2,+\infty\right)$$
- step13: Find the intersection:
  $$x \in \left(-\infty,-3\right)\cup \left(2,+\infty\right)$$
A solução da desigualdade $$ \frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x} $$ é $$ x \in (-\infty,-3) \cup (2,+\infty) $$.
A solução da desigualdade $$ \frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x} $$ é $$ x $$ pertencente a $$ (-\infty,-3) $$ ou $$ (2,+\infty) $$.

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