Si una curva está definida en coordenadas polares por la ecuación $$ r = 2 + 3\sin( heta) $$, encuentra el valor de $$ r $$ cuando $$ heta = \frac{\pi}{4} $$.

Question

Si una curva está definida en coordenadas polares por la ecuación $$ r = 2 + 3\sin(	heta) $$, encuentra el valor de $$ r $$ cuando $$ 	heta = \frac{\pi}{4} $$.

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1. Se parte de la ecuación dada:
   
   $$
   r = 2 + 3\sin(\theta)
   $$

2. Se sustituye $$ \theta = \frac{\pi}{4} $$:

$$
   r = 2 + 3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
   $$

3. Se utiliza el valor conocido:

$$
   \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

4. Se reemplaza en la ecuación:

$$
   r = 2 + 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}
   $$

5. Para expresar la suma en un solo término, se escribe $$ 2 $$ como $$ \frac{4}{2} $$:

$$
   r = \frac{4}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + 3\sqrt{2}}{2}
   $$

Por lo tanto, el valor de $$ r $$ cuando $$ \theta = \frac{\pi}{4} $$ es:

$$
\boxed{\frac{4 + 3\sqrt{2}}{2}}
$$
El valor de $$ r $$ cuando $$ \theta = \frac{\pi}{4} $$ es $$ \frac{4 + 3\sqrt{2}}{2} $$.

Si una curva está definida en coordenadas polares por la ecuación \( r = 2 + 3\sin(\theta) \), encuentra el valor de \( r \) cuando \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

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