a. Simplifica: $$ \left(x^{3} y^{-2}\right)^{2} \cdot\left(x^{-1} y^{4}\right)^{3} $$ b. Resuelve: $$ \left(2^{-3} \cdot 3^{2}\right)^{2} \div\left(6^{-1}\right) $$ c. Calcula el valor de $$ x: 3^{2 x-4}=27 $$ d. Resuelve para $$ x:\left(5^{x+1}\right) \cdot\left(5^{2-x}\right)=125 $$ e. Simplifica: $$ \left(\frac{x^{3}}{y^{-2}}\right)^{-1} \cdot x^{-2} y^{3} $$

Question

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a. Primero aplicamos la propiedad $$(a^m b^n)^p = a^{mp} b^{np}$$:

$$
\left(x^3 y^{-2}\right)^2 = x^{3\cdot 2} y^{-2\cdot 2} = x^6 y^{-4}
$$

Y de igual forma:

$$
\left(x^{-1} y^4\right)^3 = x^{-1\cdot 3} y^{4\cdot 3} = x^{-3} y^{12}
$$

Multiplicamos ambos resultados:

$$
x^6 y^{-4} \cdot x^{-3} y^{12} = x^{6-3} y^{-4+12} = x^3 y^8
$$

---

b. Se tiene:

$$
\left(2^{-3} \cdot 3^{2}\right)^{2} \div\left(6^{-1}\right)
$$

Primero elevamos al cuadrado:

$$
\left(2^{-3}\right)^2 \cdot \left(3^2\right)^2 = 2^{-6} \cdot 3^4
$$

Dado que dividir por $$6^{-1}$$ equivale a multiplicar por $$6$$, tenemos:

$$
2^{-6} \cdot 3^4 \cdot 6
$$

Recordando que $$6 = 2\cdot 3$$, reescribimos:

$$
2^{-6} \cdot 3^4 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{-6+1} \cdot 3^{4+1} = 2^{-5} \cdot 3^{5}
$$

---

c. Se debe resolver:

$$
3^{2x-4} = 27
$$

Como $$27 = 3^3$$, igualamos los exponentes:

$$
2x - 4 = 3
$$

De donde:

$$
2x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{2}
$$

---

d. Se tiene la ecuación:

$$
5^{x+1} \cdot 5^{2-x} = 125
$$

Utilizamos la propiedad de los exponentes al multiplicar con la misma base:

$$
5^{(x+1)+(2-x)} = 5^{3}
$$

Observamos que:

$$
(x+1) + (2-x) = 3
$$

Por lo tanto:

$$
5^{3} = 125
$$

Como la igualdad se cumple para cualquier $$x$$ (ya que el exponente se simplifica a $$3$$ sin depender de $$x$$), la solución es:

$$
x \in \mathbb{R}
$$

---

e. Se simplifica:

$$
\left(\frac{x^3}{y^{-2}}\right)^{-1} \cdot x^{-2} y^3
$$

Primero simplificamos el interior del paréntesis:

$$
\frac{x^3}{y^{-2}} = x^3 \cdot y^2
$$

Al elevar al exponente $$-1$$ se invierte la fracción:

$$
\left(x^3 \cdot y^2\right)^{-1} = x^{-3} \cdot y^{-2}
$$

Multiplicamos:

$$
x^{-3} \cdot y^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^3 = x^{-3-2} \cdot y^{-2+3} = x^{-5} \cdot y
$$

Es decir:

$$
\frac{y}{x^5}
$$
a. $$ x^3 y^8 $$ b. $$ 2^{-5} \cdot 3^5 $$ c. $$ x = \frac{7}{2} $$ d. $$ x $$ puede ser cualquier número real. e. $$ \frac{y}{x^5} $$

a. Simplifica:
b. Resuelve:
c. Calcula el valor de
d. Resuelve para
e. Simplifica:

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a. Simplifica: b. Resuelve: c. Calcula el valor de d. Resuelve para e. Simplifica: