Decide si los puntos dados en las coordenadas polares son los mismos. Si son iguales, introduce $$ T $$. Si son diferentes, introduzca $$ F $$. $$ \square $$ A. $$ )\left(9, \frac{\pi}{3}\right),\left(-9, \frac{-\pi}{3}\right) $$ $$ \square $$ B. $$ )\left(2, \frac{27 \pi}{4}\right),\left(2,-\frac{27 \pi}{4}\right) $$ $$ \square $$ C. $$ )(0,9 \pi),\left(0, \frac{3 \pi}{4}\right) $$ D. $$ )\left(1, \frac{45 \pi}{4}\right),\left(-1, \frac{\pi}{4}\right) $$ $$ \square $$ E. $$ )\left(5, \frac{74 \pi}{3}\right),\left(-5, \frac{-\pi}{3}\right) $$ F.) $$ (9,12 \pi),(-9,12 \pi) $$

Question

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**A.** Se tienen los puntos $$ (9, \frac{\pi}{3}) $$ y $$ (-9, -\frac{\pi}{3}) $$.  
Para el segundo, se usa que $$( -r, \theta) = (r, \theta+\pi)$$:  
$$
(-9, -\frac{\pi}{3}) = (9, -\frac{\pi}{3}+\pi) = (9, \frac{2\pi}{3}).
$$  
Como $$\frac{\pi}{3} \neq \frac{2\pi}{3}$$ (no difieren en un múltiplo de $$2\pi$$), los puntos son diferentes.  
Respuesta: $$F$$.

**B.** Se tienen los puntos $$ (2, \frac{27\pi}{4}) $$ y $$ (2, -\frac{27\pi}{4}) $$.  
Reducimos los ángulos módulo $$2\pi$$.  
Para el primer punto, restamos $$2\pi=\frac{8\pi}{4}$$ tantas veces como sea necesario:  
$$
\frac{27\pi}{4} - 3\cdot\frac{8\pi}{4} = \frac{27\pi}{4} - \frac{24\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
$$  
Para el segundo punto, se suma $$2\pi$$ suficientes veces:  
$$
-\frac{27\pi}{4} + 4\cdot\frac{8\pi}{4} = -\frac{27\pi}{4} + \frac{32\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
$$  
Dado que $$\frac{3\pi}{4} \neq \frac{5\pi}{4}$$, los puntos son diferentes.  
Respuesta: $$F$$.

**C.** Se tienen los puntos $$ (0, 9\pi) $$ y $$ \left(0, \frac{3\pi}{4}\right) $$.  
Cuando $$r=0$$ el ángulo es irrelevante, ya que ambos representan el origen.  
Respuesta: $$T$$.

**D.** Se tienen los puntos $$ \left(1, \frac{45\pi}{4}\right) $$ y $$ \left(-1, \frac{\pi}{4}\right) $$.  
Convierte el segundo usando que  
$$
(-1, \frac{\pi}{4}) = (1, \frac{\pi}{4}+\pi) = \left(1, \frac{5\pi}{4}\right).
$$  
Ahora, reduce el ángulo del primer punto:  
$$
\frac{45\pi}{4} - 5\cdot\frac{8\pi}{4} = \frac{45\pi}{4} - \frac{40\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
$$  
Ambos puntos quedan como $$ (1, \frac{5\pi}{4}) $$.  
Respuesta: $$T$$.

**E.** Se tienen los puntos $$ \left(5, \frac{74\pi}{3}\right) $$ y $$ \left(-5, -\frac{\pi}{3}\right) $$.  
Para el segundo punto, se usa la equivalencia:  
$$
(-5, -\frac{\pi}{3}) = \left(5, -\frac{\pi}{3}+\pi\right) = \left(5, \frac{2\pi}{3}\right).
$$  
Reducimos el ángulo del primer punto:  
$$
\frac{74\pi}{3} - 12\cdot\frac{6\pi}{3} \quad \text{(notar que }2\pi=\frac{6\pi}{3}\text{)}.
$$  
Sin embargo, conviene notar que $$12\cdot\frac{6\pi}{3} = \frac{72\pi}{3}$$, luego  
$$
\frac{74\pi}{3} - \frac{72\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
$$  
Así, ambos puntos son equivalentes a $$\left(5, \frac{2\pi}{3}\right)$$.  
Respuesta: $$T$$.

**F.** Se tienen los puntos $$ (9,12\pi) $$ y $$ (-9,12\pi) $$.  
Para el segundo, se usa que  
$$
(-9, 12\pi) = (9, 12\pi+\pi) = (9, 13\pi).
$$  
Reducimos ambos ángulos módulo $$2\pi$$:
- Para $$12\pi$$:  
$$
12\pi \mod 2\pi = 0.
$$
- Para $$13\pi$$:  
$$
13\pi \mod 2\pi = 13\pi-12\pi = \pi.
$$
Dado que $$0 \neq \pi$$ (no difieren en un múltiplo de $$2\pi$$), los puntos son diferentes.  
Respuesta: $$F$$.

Respuestas finales:  
A: $$F$$  
B: $$F$$  
C: $$T$$  
D: $$T$$  
E: $$T$$  
F: $$F$$
A: F B: F C: T D: T E: T F: F

Decide si los puntos dados en las coordenadas polares son
los mismos. Si son iguales, introduce . Si son diferentes,
introduzca .
A.
B.
C.
D.
E.
F.)

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