\( y = 2 x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } - 2 x \)

1. Escribimos la función: \[ y = 2 x^2 + \frac{1}{2} x^3 - 2x \] 2. Observamos que todos los términos tienen el factor \( x \). Por ello, factorizamos \( x \): \[ y = x \left(\frac{1}{2} x^2 + 2x - 2\right) \] 3. Para encontrar las raíces o puntos donde \( y = 0 \), igualamos la función a cero: \[ x \left(\frac{1}{2} x^2 + 2x - 2\right) = 0 \] Se tienen dos casos: - Caso 1: \( x = 0 \) - Caso 2: Resolver la ecuación cuadrática: \[ \frac{1}{2} x^2 + 2x - 2 = 0 \] 4. Para el caso 2, multiplicamos la ecuación por 2 para eliminar el coeficiente fraccionario: \[ x^2 + 4x - 4 = 0 \] 5. Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, que es: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aquí, \( a = 1 \), \( b = 4 \) y \( c = -4 \). Sustituyendo: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} \] 6. Simplificamos la raíz: \[ \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \] Entonces: \[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} \] 7. Finalmente, las soluciones para \( y = 0 \) son: \[ x = 0,\quad x = -2 + 2\sqrt{2},\quad x = -2 - 2\sqrt{2} \]