Una firma de inversiones está analizando tres acciones diferentes (A, B y C) para crear una cartera de inversión. El analista quiere invertir un total de \( \$ 100,000 \). La acción A tiene un dividendo anual del \( 5 \% \), la acción B del \( 3 \% \) y la acción C del \( 4 \% \). Si desea obtener un rendimiento total de \( \$ 4,200 \) en dividendos anuales y quiere que la inversión en la acción B sea el doble que en la acción C, ¿cuánto debe invertir en cada acción?

Para resolver este problema, necesitamos establecer un sistema de ecuaciones basado en las condiciones dadas. 1. El total de la inversión es de $100,000. 2. El dividendo anual de la acción A es del 5%. 3. El dividendo anual de la acción B es del 3%. 4. El dividendo anual de la acción C es del 4%. 5. El rendimiento total de dividendos anuales deseado es de $4,200. 6. La inversión en la acción B debe ser el doble que en la acción C. Denotemos la cantidad invertida en la acción A como \( x \), en la acción B como \( 2y \) (ya que la inversión en B es el doble que en C) y en la acción C como \( y \). Podemos establecer las siguientes ecuaciones: 1. \( x + 2y + y = 100,000 \) (total de la inversión) 2. \( 0.05x + 0.03(2y) + 0.04y = 4,200 \) (rendimiento total de dividendos anuales) Ahora, resolvamos este sistema de ecuaciones para encontrar la cantidad que debe invertirse en cada acción. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}x+2y+y=100000\\0.05x+0.03\times 2y+0.04y=4200\end{array}\right.\) - step1: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x+3y=100000\\0.05x+0.1y=4200\end{array}\right.\) - step2: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=100000-3y\\0.05x+0.1y=4200\end{array}\right.\) - step3: Substitute the value of \(x:\) \(0.05\left(100000-3y\right)+0.1y=4200\) - step4: Simplify: \(5000-0.05y=4200\) - step5: Move the constant to the right side: \(-0.05y=4200-5000\) - step6: Subtract the numbers: \(-0.05y=-800\) - step7: Change the signs: \(0.05y=800\) - step8: Divide both sides: \(\frac{0.05y}{0.05}=\frac{800}{0.05}\) - step9: Divide the numbers: \(y=16000\) - step10: Substitute the value of \(y:\) \(x=100000-3\times 16000\) - step11: Calculate: \(x=52000\) - step12: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=52000\\y=16000\end{array}\right.\) - step13: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=52000\\y=16000\end{array}\right.\) - step14: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(52000,16000\right)\) La solución del sistema de ecuaciones es \( x = 52,000 \) y \( y = 16,000 \). Por lo tanto, el analista debe invertir $52,000 en la acción A, $32,000 en la acción B (ya que la inversión en B es el doble que en C) y $16,000 en la acción C para cumplir con las condiciones dadas.