NIVEL AVANZADO. Simplificar: a. Simplifica: $$ \left(x^{3} y^{-2}\right)^{2} \cdot\left(x^{-1} y^{4}\right)^{3} $$ b. Resuelve: $$ \left(2^{-3} \cdot 3^{2}\right)^{2} \div\left(6^{-1}\right) $$ c. Calcula el valor de $$ x: 3^{2-1}=27 $$ d. Resuelve para $$ x:\left(5^{x+1}\right) \cdot\left(5^{2-x}\right)=125 $$ e. Simplifica: $$ \left(\frac{x^{3}}{y^{-2}}\right)^{-1} \cdot x^{-2} y^{3} $$

Question

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**a) Simplificar $$\left(x^{3}y^{-2}\right)^{2}\cdot\left(x^{-1}y^{4}\right)^{3}$$:**

1. Aplicamos la propiedad de la potencia de un producto:
   $$
   \left(x^{3}y^{-2}\right)^{2} = x^{3\cdot2}y^{-2\cdot2} = x^{6}y^{-4}.
   $$
   $$
   \left(x^{-1}y^{4}\right)^{3} = x^{-1\cdot3}y^{4\cdot3} = x^{-3}y^{12}.
   $$

2. Multiplicamos los dos resultados sumando los exponentes de las mismas bases:
   $$
   x^{6}\cdot x^{-3} = x^{6-3}=x^{3},
   $$
   $$
   y^{-4}\cdot y^{12} = y^{-4+12}=y^{8}.
   $$

3. Resultado final:
   $$
   x^{3}y^{8}.
   $$

---

**b) Resolver $$\left(2^{-3}\cdot3^{2}\right)^{2}\div\left(6^{-1}\right)$$:**

1. Elevamos cada factor al cuadrado:
   $$
   \left(2^{-3}\right)^{2}=2^{-3\cdot2}=2^{-6},\quad \left(3^{2}\right)^{2}=3^{2\cdot2}=3^{4}.
   $$
   Por lo tanto:
   $$
   \left(2^{-3}\cdot3^{2}\right)^{2}=2^{-6}\cdot3^{4}.
   $$

2. Dividir entre $$6^{-1}$$ equivale a multiplicar por $$6$$ (ya que $$a\div b^{-1}=a\cdot b$$):
   $$
   2^{-6}\cdot3^{4}\cdot6.
   $$

3. Expresamos $$6$$ como $$2\cdot3$$:
   $$
   2^{-6}\cdot3^{4}\cdot(2\cdot3)=2^{-6+1}\cdot3^{4+1}=2^{-5}\cdot3^{5}.
   $$

4. Resultado final:
   $$
   \frac{3^{5}}{2^{5}}.
   $$

---

**c) Calcular el valor de $$x$$ en la ecuación $$\,3^{2x-1}=27$$:**

1. Observamos que $$27$$ se escribe como potencia de $$3$$:
   $$
   27=3^{3}.
   $$

2. Igualamos las potencias (ya que la función exponencial es inyectiva):
   $$
   2x-1=3.
   $$

3. Resolviendo para $$x$$:
   $$
   2x=3+1=4\quad\Longrightarrow\quad x=2.
   $$

---

**d) Resolver para $$x$$ la ecuación $$\left(5^{x+1}\right)\cdot\left(5^{2-x}\right)=125$$:**

1. Usamos la propiedad de multiplicar potencias de la misma base, sumando exponentes:
   $$
   5^{x+1}\cdot5^{2-x}=5^{(x+1)+(2-x)}=5^{3}.
   $$
   Se simplifica ya que:
   $$
   (x+1)+(2-x)=3.
   $$

2. Dado que $$125=5^{3}$$, la ecuación se reduce a:
   $$
   5^{3}=5^{3}.
   $$

3. Esto es una identidad, por lo que la igualdad se cumple para cualquier valor real de $$x$$.

4. Solución:
   $$
   x\in\mathbb{R}\quad \text{(todos los números reales)}.
   $$

---

**e) Simplificar $$\left(\frac{x^{3}}{y^{-2}}\right)^{-1}\cdot x^{-2}y^{3}$$:**

1. Dentro del paréntesis, simplificamos la fracción:
   $$
   \frac{x^{3}}{y^{-2}}=x^{3}\cdot y^{2}.
   $$

2. Elevamos al exponente $$-1$$:
   $$
   \left(x^{3}\cdot y^{2}\right)^{-1}=x^{-3}\cdot y^{-2}.
   $$

3. Multiplicamos por $$x^{-2}y^{3}$$:
   $$
   x^{-3}\cdot y^{-2}\cdot x^{-2}\cdot y^{3}=x^{-3-2}\cdot y^{-2+3}=x^{-5}\cdot y^{1}.
   $$

4. Resultado final:
   $$
   \frac{y}{x^{5}}.
   $$
**a) Simplificar $$\left(x^{3}y^{-2}\right)^{2}\cdot\left(x^{-1}y^{4}\right)^{3}$$:** $$ x^{3}y^{8} $$ **b) Resolver $$\left(2^{-3}\cdot3^{2}\right)^{2}\div\left(6^{-1}\right)$$:** $$ \frac{3^{5}}{2^{5}} $$ **c) Calcular el valor de $$x$$ en la ecuación $$3^{2x-1}=27$$:** $$ x=2 $$ **d) Resolver para $$x$$ la ecuación $$\left(5^{x+1}\right)\cdot\left(5^{2-x}\right)=125$$:** $$ x \text{ puede ser cualquier número real} $$ **e) Simplificar $$\left(\frac{x^{3}}{y^{-2}}\right)^{-1}\cdot x^{-2}y^{3}$$:** $$ \frac{y}{x^{5}} $$

NIVEL AVANZADO. Simplificar:
a. Simplifica:
b. Resuelve:
c. Calcula el valor de
d. Resuelve para
e. Simplifica:

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