Sistemas de ineacaione \( \frac{x-5 \leq \frac{x}{4}}{\frac{x+1}{2}-\frac{3(x-2)}{4}>2-x} \)

Vamos resolver o sistema de inequações: \[ \begin{cases} x - 5 \leq \dfrac{x}{4} \\ \dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{3(x - 2)}{4} > 2 - x \end{cases} \] ### **Primeira Inequação: \( x - 5 \leq \dfrac{x}{4} \)** 1. **Isolar os termos com \( x \):** \[ x - \dfrac{x}{4} \leq 5 \] 2. **Simplificar o lado esquerdo:** \[ \dfrac{4x - x}{4} \leq 5 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3x}{4} \leq 5 \] 3. **Multiplicar ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:** \[ 3x \leq 20 \] 4. **Isolar \( x \):** \[ x \leq \dfrac{20}{3} \quad \Rightarrow \quad x \leq 6\dfrac{2}{3} \] ### **Segunda Inequação: \( \dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{3(x - 2)}{4} > 2 - x \)** 1. **Encontrar um denominador comum para simplificar:** O denominador comum entre 2 e 4 é 4. 2. **Reescrever as frações com denominador 4:** \[ \dfrac{2(x + 1)}{4} - \dfrac{3(x - 2)}{4} > 2 - x \] 3. **Simplificar o lado esquerdo:** \[ \dfrac{2x + 2 - 3x + 6}{4} > 2 - x \] \[ \dfrac{-x + 8}{4} > 2 - x \] 4. **Multiplicar ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:** \[ -x + 8 > 4(2 - x) \] \[ -x + 8 > 8 - 4x \] 5. **Isolar os termos com \( x \):** \[ -x + 4x > 8 - 8 \] \[ 3x > 0 \] 6. **Isolar \( x \):** \[ x > 0 \] ### **Solução do Sistema** Agora, combinamos as soluções das duas inequações: \[ \begin{cases} x \leq \dfrac{20}{3} \\ x > 0 \end{cases} \] Portanto, a solução do sistema é: \[ 0 < x \leq \dfrac{20}{3} \] ### **Representação em Intervalo** \[ x \in \left(0, \dfrac{20}{3}\right] \] ### **Representação na Reta Numérica** - **0** não está incluído (representado por um círculo aberto). - **\(\dfrac{20}{3}\)** está incluído (representado por um círculo fechado). - Todos os valores entre 0 e \(\dfrac{20}{3}\) são soluções. ### **Conclusão** Todos os números reais \( x \) tais que \( 0 < x \leq \dfrac{20}{3} \) satisfazem o sistema de inequações dado.