XVI. Con $$ T $$ definida como $$ T_{(x)}=A x $$ encontrar un vector $$ x $$ cuya imagen bajo $$ T $$ sea $$ b y $$ determinar si esta es única. 1. $$ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \ -2 & 1 & 6 \ 3 & -2 & -5\end{array} ight] b=\left[\begin{array}{c}-1 \ 7 \ 3\end{array} ight] $$

Question

XVI. Con $$ T $$ definida como $$ T_{(x)}=A x $$ encontrar un vector $$ x $$ cuya imagen bajo $$ T $$ sea $$ b y $$ determinar si esta es única. 1. $$ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \ -2 & 1 & 6 \ 3 & -2 & -5\end{array}ight] b=\left[\begin{array}{c}-1 \ 7 \ 3\end{array}ight] $$

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Sea $$ T(x) = Ax $$ y se desea encontrar $$ x $$ tal que

$$
Ax=b \quad \text{donde} \quad A=\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \ -2 & 1 & 6 \ 3 & -2 & -5\end{bmatrix} \quad \text{y} \quad b=\begin{bmatrix}-1 \ 7 \ 3\end{bmatrix}.
$$

**Paso 1. Comprobación de la unicidad de la solución**

Para que el sistema $$ Ax=b $$ tenga solución única, se requiere que $$ A $$ sea invertible, lo que ocurre si y solo si su determinante es distinto de cero.

Calculemos el determinante de $$ A $$:

$$
\det(A) = 1\cdot\det\begin{bmatrix}1 & 6 \ -2 & -5\end{bmatrix} - 0\cdot\det\begin{bmatrix}-2 & 6 \ 3 & -5\end{bmatrix} + (-2)\cdot\det\begin{bmatrix}-2 & 1 \ 3 & -2\end{bmatrix}.
$$

Evaluamos cada uno de los determinantes $$ 2\times 2 $$:

1. $$\det\begin{bmatrix}1 & 6 \ -2 & -5\end{bmatrix} = 1\cdot(-5) - 6\cdot(-2)= -5+12=7.$$
2. $$\det\begin{bmatrix}-2 & 1 \ 3 & -2\end{bmatrix} = (-2)(-2)-1\cdot3 = 4-3 = 1.$$

Sustituyendo:

$$
\det(A) = 1\cdot 7 + (-2)\cdot 1 = 7-2=5.
$$

Al ser $$\det(A)=5\neq0$$, $$A$$ es invertible, por lo que la solución es única.

**Paso 2. Resolución del sistema $$ Ax = b $$**

Sea

$$
x=\begin{bmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3\end{bmatrix}.
$$

El sistema se escribe como:

1) $$ 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 -2\cdot x_3 = -1 $$  
  $$\Rightarrow x_1 - 2x_3 = -1.$$

2) $$ -2x_1 + x_2 + 6x_3 = 7.$$

3) $$ 3x_1 - 2x_2 -5x_3 = 3.$$

Resolviendo la primera ecuación:

$$
x_1 = 2x_3 - 1.
$$

Sustituimos $$ x_1 $$ en la segunda ecuación:

$$
-2(2x_3-1) + x_2 + 6x_3 = 7.
$$

Desarrollamos:

$$
-4x_3+2 + x_2 + 6x_3 = 7 \quad \Rightarrow \quad x_2 + 2x_3 + 2 = 7.
$$

De donde:

$$
x_2 = 7 - 2 - 2x_3 = 5 - 2x_3.
$$

Ahora sustituimos $$ x_1 $$ y $$ x_2 $$ en la tercera ecuación:

$$
3(2x_3-1) - 2(5-2x_3) - 5x_3 = 3.
$$

Calculamos paso a paso:

$$
6x_3 - 3 - 10 + 4x_3 - 5x_3 = 3.
$$

Combinamos términos semejantes:

$$
(6x_3 + 4x_3 - 5x_3) - 13 = 3 \quad \Rightarrow \quad 5x_3 - 13 = 3.
$$

Resolviendo:

$$
5x_3 = 16 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \frac{16}{5}.
$$

Con $$ x_3 $$ hallado, sustituimos para obtener $$ x_1 $$ y $$ x_2 $$:

$$
x_1 = 2x_3 - 1 = 2\left(\frac{16}{5}\right) - 1 = \frac{32}{5} - \frac{5}{5} = \frac{27}{5}.
$$

$$
x_2 = 5 - 2x_3 = 5 - 2\left(\frac{16}{5}\right) = 5 - \frac{32}{5} = \frac{25}{5} - \frac{32}{5} = -\frac{7}{5}.
$$

**Solución**

El vector $$ x $$ que satisface $$ Ax = b $$ es:

$$
x = \begin{bmatrix} \frac{27}{5} \ -\frac{7}{5} \ \frac{16}{5} \end{bmatrix}.
$$

Dado que $$\det(A)\neq0$$, esta solución es única.
El vector $$ x $$ que satisface $$ Ax = b $$ es: $$ x = \begin{bmatrix} \frac{27}{5} \ -\frac{7}{5} \ \frac{16}{5} \end{bmatrix}. $$ Esta solución es única.

XVI. Con definida como encontrar un vector cuya imagen bajo sea
determinar si esta es única.

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