La función de utilidad se define como la diferencia entre el ingreso y el costo. Determina la función de utilidad para las funciones de ingreso y costo. Halla también el punto de equilibrio. a. $$ \quad I(x)=9250 x, C(x)=5200 x+178200 $$ b. $$ \quad I(x)=12400 x, C(x)=7850 x+500000 $$

Question

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### a. Funciones
- Función de ingreso: $$ I(x) = 9250x $$
- Función de costo: $$ C(x) = 5200x + 178200 $$

### a. Desarrollo

1. **Función de utilidad:**  
   La función de utilidad se define como la diferencia entre el ingreso y el costo, es decir,  
   $$
   U(x) = I(x) - C(x)
   $$
   Sustituyendo las funciones:
   $$
   U(x) = 9250x - \left(5200x + 178200\right)
   $$
   Simplificando:
   $$
   U(x) = (9250x - 5200x) - 178200 = 4050x - 178200
   $$

2. **Punto de equilibrio:**  
   El punto de equilibrio se obtiene cuando la utilidad es cero, es decir,  
   $$
   4050x - 178200 = 0
   $$
   Resolviendo para $$x$$:
   $$
   4050x = 178200 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{178200}{4050} = 44
   $$
   Por lo tanto, el punto de equilibrio es cuando se venden $$44$$ unidades.

---

### b. Funciones
- Función de ingreso: $$ I(x) = 12400x $$
- Función de costo: $$ C(x) = 7850x + 500000 $$

### b. Desarrollo

1. **Función de utilidad:**  
   Se tiene:
   $$
   U(x) = I(x) - C(x)
   $$
   Sustituyendo las funciones:
   $$
   U(x) = 12400x - \left(7850x + 500000\right)
   $$
   Simplificando:
   $$
   U(x) = (12400x - 7850x) - 500000 = 4550x - 500000
   $$

2. **Punto de equilibrio:**  
   El punto de equilibrio se obtiene al igualar la utilidad a cero:
   $$
   4550x - 500000 = 0
   $$
   Resolviendo para $$x$$:
   $$
   4550x = 500000 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{500000}{4550}
   $$
   Simplificando dividiendo numerador y denominador entre $$5$$:
   $$
   x = \frac{100000}{910} = \frac{10000}{91} \approx 109.89
   $$
   Por lo tanto, el punto de equilibrio se alcanza aproximadamente cuando se venden $$110$$ unidades (o exactamente $$ \frac{10000}{91} $$ unidades).

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### Resumen de Respuestas

a.  
- Función de utilidad: $$ U(x) = 4050x - 178200 $$  
- Punto de equilibrio: $$ x = 44 $$

b.  
- Función de utilidad: $$ U(x) = 4550x - 500000 $$  
- Punto de equilibrio: $$ x = \frac{10000}{91} \approx 109.89 $$
### a. Funciones - Ingreso: $$ I(x) = 9250x $$ - Costo: $$ C(x) = 5200x + 178200 $$ ### a. Utilidad y Equilibrio - **Función de utilidad:** $$ U(x) = 4050x - 178200 $$ - **Punto de equilibrio:** $$ x = 44 $$ --- ### b. Funciones - Ingreso: $$ I(x) = 12400x $$ - Costo: $$ C(x) = 7850x + 500000 $$ ### b. Utilidad y Equilibrio - **Función de utilidad:** $$ U(x) = 4550x - 500000 $$ - **Punto de equilibrio:** $$ x \approx 110 $$ --- ### Resumen a. - Utilidad: $$ U(x) = 4050x - 178200 $$ - Equilibrio: $$ x = 44 $$ b. - Utilidad: $$ U(x) = 4550x - 500000 $$ - Equilibrio: $$ x \approx 110 $$

La función de utilidad se define como la diferencia entre el ingreso y el costo. Determina la función de utilidad para las funciones de ingreso y costo. Halla también el punto de equilibrio. a. \( \quad I(x)=9250 x, C(x)=5200 x+178200 \) b. \( \quad I(x)=12400 x, C(x)=7850 x+500000 \)

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