$$ f(x)=a x^{2}+b x+c $$ \begin{tabular}{c|c} Tiemio Ensemanos & Altura em \ \hline 0 & 5 \ 2 & 20 \ 5 & 15 \end{tabular} - Encuentre el punto donde la altura de la planta es 0 cm, es decir las raices de la ecuacisn (aunzue en este caso, una de ellas puede no tener sentido aiologico) - Determine el ese de simetria de la función y explique su significado en terminos de crecimiento de la planta

Question

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La función cuadrática es $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$. Se nos proporcionan tres puntos: (0, 5), (2, 20) y (5, 15). Usaremos estos puntos para determinar los coeficientes $$ a $$, $$ b $$ y $$ c $$ de la función.
Usando los puntos dados, podemos establecer un sistema de ecuaciones:

1. Para $$ (0, 5) $$: $$ c = 5 $$
2. Para $$ (2, 20) $$: $$ 4a + 2b + c = 20 $$
3. Para $$ (5, 15) $$: $$ 25a + 5b + c = 15 $$

Sustituyendo $$ c = 5 $$ en las dos últimas ecuaciones, obtenemos:

1. $$ 4a + 2b + 5 = 20 $$  →  $$ 4a + 2b = 15 $$  →  $$ 2a + b = 7.5 $$  (Ecuación 1)
2. $$ 25a + 5b + 5 = 15 $$  →  $$ 25a + 5b = 10 $$  →  $$ 5a + b = 2 $$  (Ecuación 2)
Ahora resolveremos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones 1 y 2:

1. $$ 2a + b = 7.5 $$
2. $$ 5a + b = 2 $$

Restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 para eliminar $$ b $$:

$$
(5a + b) - (2a + b) = 2 - 7.5
$$

Esto simplifica a:

$$
3a = -5.5 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{5.5}{3}
$$

Sustituyendo $$ a $$ en la ecuación 1 para encontrar $$ b $$:

$$
2\left(-\frac{5.5}{3}\right) + b = 7.5
$$

Resolviendo para $$ b $$:

$$
-\frac{11}{3} + b = 7.5 \quad \Rightarrow \quad b = 7.5 + \frac{11}{3}
$$

Convertimos $$ 7.5 $$ a fracción:

$$
b = \frac{22.5}{3} + \frac{11}{3} = \frac{33.5}{3}
$$

Por lo tanto, tenemos $$ a = -\frac{5.5}{3} $$, $$ b = \frac{33.5}{3} $$, y $$ c = 5 $$. Ahora, podemos escribir la función cuadrática como:

$$
f(x) = -\frac{5.5}{3}x^2 + \frac{33.5}{3}x + 5
$$
Para encontrar las raíces de la función, resolvemos la ecuación $$ f(x) = 0 $$:

$$
-\frac{5.5}{3}x^2 + \frac{33.5}{3}x + 5 = 0
$$

Multiplicamos por -3 para simplificar:

$$
5.5x^2 - 33.5x - 15 = 0
$$

Usamos la fórmula cuadrática $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$:

Donde $$ a = 5.5 $$, $$ b = -33.5 $$, y $$ c = -15 $$. Calculamos el discriminante:

$$
D = (-33.5)^2 - 4(5.5)(-15)
$$

Ahora, calculamos $$ D $$ y luego las raíces. Primero, calculamos $$ D $$:

$$
D = 1122.25 + 330 = 1452.25
$$

Ahora, calculamos las raíces:

$$
x = \frac{33.5 \pm \sqrt{1452.25}}{11}
$$

Calculamos $$ \sqrt{1452.25} $$ y luego las raíces.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{1452.25}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{\frac{5809}{4}}$$
- step2: Use the properties of radicals:
  $$\frac{\sqrt{5809}}{\sqrt{4}}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$\frac{\sqrt{5809}}{2}$$
El valor de $$ \sqrt{1452.25} $$ es aproximadamente $$ 38.108398 $$. Ahora, sustituimos este valor en la fórmula de las raíces:

$$
x = \frac{33.5 \pm 38.108398}{11}
$$

Calculamos las dos raíces:

1. $$ x_1 = \frac{33.5 + 38.108398}{11} $$
2. $$ x_2 = \frac{33.5 - 38.108398}{11} $$

Ahora, calculamos ambos valores.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(33.5+38.108398\right)}{11}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{33.5+38.108398}{11}$$
- step2: Add the numbers:
  $$\frac{71.608398}{11}$$
- step3: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{35804199}{500000}}{11}$$
- step4: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{35804199}{500000}\times \frac{1}{11}$$
- step5: Multiply the fractions:
  $$\frac{35804199}{500000\times 11}$$
- step6: Multiply:
  $$\frac{35804199}{5500000}$$
Calculate or simplify the expression $$ (33.5 - 38.108398) / 11 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(33.5-38.108398\right)}{11}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{33.5-38.108398}{11}$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$\frac{-4.608398}{11}$$
- step3: Convert the expressions:
  $$\frac{-\frac{2304199}{500000}}{11}$$
- step4: Multiply by the reciprocal:
  $$-\frac{2304199}{500000}\times \frac{1}{11}$$
- step5: Multiply the fractions:
  $$-\frac{2304199}{500000\times 11}$$
- step6: Multiply:
  $$-\frac{2304199}{5500000}$$
Las raíces de la función son:

1. $$ x_1 \approx 6.509854 $$
2. $$ x_2 \approx -0.418945 $$

La raíz $$ x_1 $$ tiene sentido biológico, ya que representa un tiempo positivo, mientras que $$ x_2 $$ no tiene sentido en este contexto, ya que no puede haber un tiempo negativo.
El eje de simetría de una parábola dada por la función cuadrática $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ se encuentra en $$ x = -\frac{b}{2a} $$.

Sustituyendo los valores de $$ a $$ y $$ b $$:

$$
x = -\frac{\frac{33.5}{3}}{2 \cdot -\frac{5.5}{3}} = \frac{33.5}{11} \approx 3.045454
$$

Este eje de simetría indica el punto en el tiempo donde la planta alcanza su altura máxima, lo que significa que antes de este punto, la planta está creciendo y después de este punto, la planta comienza a decrecer.
Las raíces de la función son aproximadamente $$ x_1 \approx 6.51 $$ (con sentido biológico) y $$ x_2 \approx -0.42 $$ (sin sentido biológico). El eje de simetría es $$ x \approx 3.05 $$, lo que indica el tiempo en el que la planta alcanza su altura máxima.

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