2.1.1. Ejercicios 1. En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

Question

2.1.1. Ejercicios 1. En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & 	ext { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & 	ext { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & 	ext { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} $$

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Para analizar cada una de las integrales impropias dadas, primero definimos qué es una integral impropia. Una integral se considera impropia si:

1. Los límites de integración son infinitos (por ejemplo, $$+\infty$$ o $$-\infty$$).
2. La función a integrar tiene una discontinuidad en el intervalo de integración (por ejemplo, si se vuelve infinita en algún punto dentro del intervalo).

Ahora, analicemos cada inciso:

### a) $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx $$

**Razón de impropiedad:** El límite superior de la integral es $$+\infty$$.

**Análisis:** Para evaluar esta integral, calculamos el límite:
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} [\ln|x|]_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (\ln|b| - \ln|1|) = \lim_{b \to +\infty} \ln|b| = +\infty
$$
**Valor asignado:** No se le puede asignar un valor finito, ya que la integral diverge.

### b) $$ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx $$

**Razón de impropiedad:** El límite inferior de la integral es $$-\infty$$ y la función tiene una discontinuidad en $$x = 1$$, que no está en el intervalo de integración, pero se debe tener en cuenta.

**Análisis:** Evaluamos el límite:
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx
$$
Calculamos la integral:
$$
\int \frac{1}{(x-1)^{2}} \, dx = -\frac{1}{x-1}
$$
Entonces:
$$
\lim_{a \to -\infty} \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{a}^{0} = \lim_{a \to -\infty} \left(-\frac{1}{0-1} + \frac{1}{a-1}\right) = 1 + 0 = 1
$$
**Valor asignado:** La integral converge y su valor es $$1$$.

### c) $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx $$

**Razón de impropiedad:** El límite superior de la integral es $$+\infty$$.

**Análisis:** Evaluamos el límite:
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} + 1) = 0 + 1 = 1
$$
**Valor asignado:** La integral converge y su valor es $$1$$.

### d) $$ \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx $$

**Razón de impropiedad:** Aunque los límites son infinitos, la función $$x e^{-x^{2}}$$ es impar.

**Análisis:** Dado que la función es impar, podemos concluir que:
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = 0
$$
**Valor asignado:** La integral converge y su valor es $$0$$.

### Resumen de resultados:
- a) Diverge ($$+\infty$$)
- b) Converge (valor $$1$$)
- c) Converge (valor $$1$$)
- d) Converge (valor $$0$$)
a) La integral diverge a $$+\infty$$. b) La integral converge a $$1$$. c) La integral converge a $$1$$. d) La integral converge a $$0$$.

2.1.1. Ejercicios

En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana-
licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen
cuál es ese valor.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

a)

b)

c)

d)

Resumen de resultados:

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2.1.1. Ejercicios En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor y, cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor.