risolvi la seguente disequazione \( y=\sqrt{2^{x}-1}+\sqrt{81-9^{x}} \)

Per risolvere la disequazione \( y = \sqrt{2^{x} - 1} + \sqrt{81 - 9^{x}} \), dobbiamo prima analizzare i termini all'interno delle radici per determinare i valori di \( x \) per cui l'espressione è definita. ### Passo 1: Condizioni di esistenza 1. **Primo termine**: \( \sqrt{2^{x} - 1} \) - La condizione per cui questo termine è definito è: \[ 2^{x} - 1 \geq 0 \implies 2^{x} \geq 1 \implies x \geq 0 \] 2. **Secondo termine**: \( \sqrt{81 - 9^{x}} \) - La condizione per cui questo termine è definito è: \[ 81 - 9^{x} \geq 0 \implies 9^{x} \leq 81 \implies 9^{x} \leq 9^{2} \implies x \leq 2 \] ### Passo 2: Intervallo di definizione Dalla condizione di esistenza, abbiamo: - \( x \geq 0 \) - \( x \leq 2 \) Quindi, l'intervallo di definizione per \( x \) è: \[ 0 \leq x \leq 2 \] ### Passo 3: Valutazione dell'espressione Ora, dobbiamo valutare l'espressione \( y \) all'interno dell'intervallo \( [0, 2] \). 1. **Calcoliamo \( y \) per \( x = 0 \)**: \[ y(0) = \sqrt{2^{0} - 1} + \sqrt{81 - 9^{0}} = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{81 - 1} = 0 + \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] 2. **Calcoliamo \( y \) per \( x = 2 \)**: \[ y(2) = \sqrt{2^{2} - 1} + \sqrt{81 - 9^{2}} = \sqrt{4 - 1} + \sqrt{81 - 81} = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3} \] ### Passo 4: Comportamento dell'espressione Dobbiamo anche considerare il comportamento dell'espressione \( y \) all'interno dell'intervallo. Poiché \( 2^{x} \) e \( 9^{x} \) sono funzioni crescenti, possiamo concludere che \( y \) è una funzione crescente nell'intervallo \( [0, 2] \). ### Passo 5: Risultato finale Pertanto, l'espressione \( y \) assume valori compresi tra \( \sqrt{3} \) e \( 4\sqrt{5} \) per \( x \) nell'intervallo \( [0, 2] \). Se la disequazione è di tipo \( y \geq k \) per un certo valore \( k \), possiamo determinare i valori di \( x \) per cui questa è vera, considerando i valori estremi calcolati. Se hai un valore specifico di \( k \) per cui vuoi risolvere la disequazione, fammelo sapere!