Série Exercicex \( 1 / \) Montrer que pour tout réel \( x \) on a \( \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos x-\sin x \) \( 2 / \) Soit \( f(x)=\cos 2 x-\sin 2 x+1 \) a/Calculer \( f\left(\frac{\pi}{12}\right) \) b/Vérifier que \( f(x)=2 \sqrt{2} \cos x \sin \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right) \) c/Déduire \( \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) \) \( 3 / \) a/Montrer que pour tout réel \( x \) de \( ] 0, \frac{\pi}{4}\left[\right. \) on \( a: \quad \frac{2 \cos 2 x}{\cos 2 x-\sin 2 x+1}=1+\tan x \) b/En déduire que tan \( \left(\frac{\pi}{12}\right)=2-\sqrt{3} \)

Pour la première partie, montrons que \( \sqrt{2} \sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) = \cos x - \sin x \). Utilisons l'identité de l'angle somme : \( \sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) = \sin x \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \cos x \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \). En remplaçant par les valeurs connues, \( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) et \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), on obtient alors : \( \sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) = \cos x - \sin x \). Pour la deuxième question, la fonction \( f(x) = \cos 2x - \sin 2x + 1 \) peut être évaluée en \( x = \frac{\pi}{12} \). On commence par calculer : \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) et \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \). En substituant, on a \( f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \). Pour \( b \), en utilisant les propriétés trigonométriques et la substitution de l'identité de la question 1, vous pouvez confirmer que la forme de \( f(x) \) obtenue correspond bien à \( 2\sqrt{2} \cos x \sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) \). Cela implique une simplification des termes. Enfin, partons de \( \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)} = 2 - \sqrt{3} \); vous ferez appel aux identités trigonométriques et à un travail méthodique sur \( \tan\left(x\right) \) pour obtenir cette belle déduction !