Situación 1: Se quiere instalar una pileta de natación con forma de prisma recto. Para que su diseño resulte armonioso la pileta debe tener el doble de largo que de ancho y para que resulte segura su profundidad debe ser la mitad del ancho. Los costos de los materiales que se van a utilizar son los siguientes: - El revestimiento para paredes y piso cuesta $$ \$ 500 \mathrm{el} \mathrm{m}^{2} $$ - La soldadura de las juntas, $$ \$ 200 \mathrm{el} \mathrm{m} $$. - La excavación y colocacion $$ \$ 100 \mathrm{el} \mathrm{m}^{3} $$ - El traslado de los materiales $$ \$ 1000 $$ a) ¿Cuánto costará instalar una pileta de 4 m de ancho? b) Si se disponen de $$ \$ 441000 $$, ¿se puede instalar una pileta de 9 m de ancho? c) Encuentren las fórmulas que les permitan ver los cambios de las variables dadas a continuación dependiendo del ancho que se elige para la pileta: c1) Cantidad total de material necesario para su piso c2) Cantidad total de material necesario para sus paredes. c3) Cantidad total de soldaduras para sus juntas. C4) Volumen de la pileta. d) ¿Pueden escribir la fórmula de una función que relacione el costo total de instalación de una pileta según los metros de ancho que posee? e) ¿Cuáles son las dimensiones de la pileta más grande que se puede construir con $$ \$ 56650 $$ ?

Question

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Para resolver el problema, primero definamos las variables y las condiciones dadas:

- Sea $$ w $$ el ancho de la pileta.
- El largo $$ l $$ es el doble del ancho: $$ l = 2w $$.
- La profundidad $$ h $$ es la mitad del ancho: $$ h = \frac{w}{2} $$.

### a) Costo de instalar una pileta de 4 m de ancho

1. **Dimensiones de la pileta:**
   - Ancho $$ w = 4 \, \text{m} $$
   - Largo $$ l = 2w = 2 \times 4 = 8 \, \text{m} $$
   - Profundidad $$ h = \frac{w}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{m} $$

2. **Cálculo del área del piso:**
   $$
   A_{\text{piso}} = l \times w = 8 \times 4 = 32 \, \text{m}^2
   $$

3. **Cálculo del área de las paredes:**
   - Hay 2 paredes de largo y profundidad y 2 de ancho y profundidad.
   $$
   A_{\text{paredes}} = 2(l \times h) + 2(w \times h) = 2(8 \times 2) + 2(4 \times 2) = 32 + 16 = 48 \, \text{m}^2
   $$

4. **Costo del revestimiento:**
   $$
   C_{\text{revestimiento}} = (A_{\text{piso}} + A_{\text{paredes}}) \times 500 = (32 + 48) \times 500 = 40000
   $$

5. **Cálculo de la longitud de las juntas:**
   - La longitud de las juntas es el perímetro de la pileta:
   $$
   P = 2(l + w) = 2(8 + 4) = 24 \, \text{m}
   $$
   $$
   C_{\text{soldadura}} = P \times 200 = 24 \times 200 = 4800
   $$

6. **Cálculo del volumen de la pileta:**
   $$
   V = l \times w \times h = 8 \times 4 \times 2 = 64 \, \text{m}^3
   $$
   $$
   C_{\text{excavación}} = V \times 100 = 64 \times 100 = 6400
   $$

7. **Costo total:**
   $$
   C_{\text{total}} = C_{\text{revestimiento}} + C_{\text{soldadura}} + C_{\text{excavación}} + 1000 = 40000 + 4800 + 6400 + 1000 = 53200
   $$

Por lo tanto, el costo de instalar una pileta de 4 m de ancho es $$ \$ 53200 $$.

### b) ¿Se puede instalar una pileta de 9 m de ancho con $$ \$ 441000 $$?

1. **Dimensiones de la pileta:**
   - Ancho $$ w = 9 \, \text{m} $$
   - Largo $$ l = 2w = 18 \, \text{m} $$
   - Profundidad $$ h = \frac{w}{2} = 4.5 \, \text{m} $$

2. **Cálculo del área del piso:**
   $$
   A_{\text{piso}} = l \times w = 18 \times 9 = 162 \, \text{m}^2
   $$

3. **Cálculo del área de las paredes:**
   $$
   A_{\text{paredes}} = 2(l \times h) + 2(w \times h) = 2(18 \times 4.5) + 2(9 \times 4.5) = 162 + 81 = 243 \, \text{m}^2
   $$

4. **Costo del revestimiento:**
   $$
   C_{\text{revestimiento}} = (A_{\text{piso}} + A_{\text{paredes}}) \times 500 = (162 + 243) \times 500 = 202500
   $$

5. **Cálculo de la longitud de las juntas:**
   $$
   P = 2(l + w) = 2(18 + 9) = 54 \, \text{m}
   $$
   $$
   C_{\text{soldadura}} = P \times 200 = 54 \times 200 = 10800
   $$

6. **Cálculo del volumen de la pileta:**
   $$
   V = l \times w \times h = 18 \times 9 \times 4.5 = 729 \, \text{m}^3
   $$
   $$
   C_{\text{excavación}} = V \times 100 = 729 \times 100 = 72900
   $$

7. **Costo total:**
   $$
   C_{\text{total}} = C_{\text{revestimiento}} + C_{\text{soldadura}} + C_{\text{excavación}} + 1000 = 202500 + 10800 + 72900 + 1000 = 288200
   $$

Dado que $$ 288200 < 441000 $$, sí se puede instalar una pileta de 9 m de ancho.

### c) Fórmulas para las variables

1. **Cantidad total de material necesario para su piso:**
   $$
   A_{\text{piso}}(w) = 2w^2
   $$

2. **Cantidad total de material necesario para sus paredes:**
   $$
   A_{\text{paredes}}(w) = 2(2w \cdot \frac{w}{2}) + 2(w \cdot \frac{w}{2}) = 2w^2 + w^2 = 3w^2
   $$

3. **Cantidad total de soldaduras para sus juntas:**
   $$
   P(w) = 2(2w + w) = 6w
   $$

4. **Volumen de la pileta:**
   $$
   V(w) = 2w^2 \cdot \frac{w}{2} = w^3
   $$

### d) Fórmula de costo total de instalación

El costo total $$ C(w) $$ se puede expresar como:
\[
C(w) = (A_{\text{piso}}(w) + A_{\text{paredes}}(w
a) El costo de instalar una pileta de 4 m de ancho es \$53,200. b) Sí, con \$441,000 se puede instalar una pileta de 9 m de ancho. c) - Cantidad de material para el piso: $$ A_{\text{piso}}(w) = 2w^2 $$ - Cantidad de material para las paredes: $$ A_{\text{paredes}}(w) = 3w^2 $$ - Longitud de soldaduras: $$ P(w) = 6w $$ - Volumen de la pileta: $$ V(w) = w^3 $$ d) La fórmula del costo total es $$ C(w) = 2w^2 \times 500 + 3w^2 \times 500 + 6w \times 200 + 100 \times w^3 + 1000 $$. e) Las dimensiones de la pileta más grande que se puede construir con \$56,650 son 5 m de ancho, 10 m de largo y 2.5 m de profundidad.

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