58 b 1. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto \( (0,0) \) y son tangentes a la curva \( y=x^{2}+3 x+4 \).

Para encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto \( (0,0) \) y son tangentes a la curva \( y = x^{2} + 3x + 4 \), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. **Suposición de la ecuación de la recta** Dado que la recta pasa por el origen \( (0,0) \), su ecuación puede expresarse de la forma: \[ y = m x \] donde \( m \) es la pendiente de la recta. ### 2. **Intersección entre la recta y la parábola** Para encontrar los puntos de intersección entre la recta y la parábola, igualamos las ecuaciones: \[ m x = x^{2} + 3x + 4 \] Llevando todos los términos al mismo lado de la ecuación: \[ x^{2} + (3 - m) x + 4 = 0 \] ### 3. **Condición de tangencia** Para que la recta sea tangente a la parábola, la ecuación cuadrática resultante debe tener una única solución real. Esto ocurre cuando el discriminante (\( \Delta \)) de la ecuación cuadrática es igual a cero. El discriminante se calcula como: \[ \Delta = (3 - m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \] Simplificando: \[ (3 - m)^2 - 16 = 0 \] \[ (3 - m)^2 = 16 \] Tomando la raíz cuadrada en ambos lados: \[ 3 - m = \pm 4 \] ### 4. **Resolviendo para \( m \)** Existen dos casos: - **Caso 1:** \( 3 - m = 4 \) \[ m = 3 - 4 = -1 \] - **Caso 2:** \( 3 - m = -4 \) \[ m = 3 + 4 = 7 \] ### 5. **Ecuaciones de las rectas tangentes** Con los valores obtenidos para \( m \), las ecuaciones de las rectas son: \[ y = -x \] y \[ y = 7x \] Por lo tanto, las **dos rectas tangentes** a la parábola \( y = x^{2} + 3x + 4 \) que pasan por el origen son: \[ \boxed{\begin{cases} y = -x \\ y = 7x \end{cases}} \]