2. Obtener la ecuación diferencial asociada a: $$ \begin{array}{llll} ext { i) } y=C x & ext { ii) } y=C \operatorname{sen} x & ext { iii) } y=\operatorname{sen}(x+C) ext { iv) } x^{2}+2 y^{2}=C \ ext { v) } x y=C & ext { vi) } x^{2}-y^{2}=C & ext { vii) } y^{2}=C x^{3} & ext { viii) } y=C e^{-x}\end{array} $$

Question

2. Obtener la ecuación diferencial asociada a: $$ \begin{array}{llll}	ext { i) } y=C x & 	ext { ii) } y=C \operatorname{sen} x & 	ext { iii) } y=\operatorname{sen}(x+C) 	ext { iv) } x^{2}+2 y^{2}=C \ 	ext { v) } x y=C & 	ext { vi) } x^{2}-y^{2}=C & 	ext { vii) } y^{2}=C x^{3} & 	ext { viii) } y=C e^{-x}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

i) Dada $$ y = Cx $$:  
  Se despeja $$ C = \frac{y}{x} $$ (para $$ x\neq 0 $$). Derivando se tiene  
  $$
  y' = C = \frac{y}{x}.
  $$
  La ecuación diferencial es  
  $$
  xy' - y = 0.
  $$

ii) Dada $$ y = C\,\sen x $$:  
  Se tiene  
  $$
  y' = C\,\cos x.
  $$
  Expresando $$ C $$ en función de $$ y $$:  
  $$
  C = \frac{y}{\sen x} \quad (\sen x \neq 0),
  $$
  se sustituye en la derivada:  
  $$
  y' = \frac{y}{\sen x}\cos x.
  $$
  Multiplicando por $$ \sen x $$ se obtiene  
  $$
  \sen x\, y' - y \cos x = 0.
  $$

iii) Dada $$ y=\sen(x+C) $$:  
  Derivando se tiene  
  $$
  y'=\cos(x+C).
  $$
  Como $$ y=\sen(x+C) $$, se cumple que  
  $$
  \cos^2(x+C)=1-\sen^2(x+C)=1-y^2.
  $$
  Por ello, elevando al cuadrado la derivada (o asumiendo la rama positiva según el intervalo considerado) se obtiene la ecuación diferencial  
  $$
  (y')^2=1-y^2.
  $$
  Alternativamente, se puede expresar como  
  $$
  y'=\sqrt{1-y^2},
  $$
  teniendo en cuenta la elección de la rama.

iv) Dada $$ x^2+2y^2=C $$:  
  Diferenciando se tiene  
  $$
  2x+4yy'=0.
  $$
  Dividiendo entre 2 se obtiene  
  $$
  x+2yy'=0.
  $$

v) Dada $$ xy=C $$:  
  Diferenciando se obtiene  
  $$
  y+x\,y'=0.
  $$

vi) Dada $$ x^2-y^2=C $$:  
  Diferenciando se tiene  
  $$
  2x-2yy'=0.
  $$
  Dividiendo entre 2 se llega a  
  $$
  x-y\,y'=0.
  $$

vii) Dada $$ y^2=Cx^3 $$:  
  Diferenciando se obtiene  
  $$
  2y\,y'=3C x^2.
  $$
  Resolviendo para $$ C $$ de la ecuación original:  
  $$
  C=\frac{y^2}{x^3} \quad (x\neq0),
  $$
  se sustituye en la derivada:  
  $$
  2y\,y' = 3\frac{y^2}{x} \quad \Longrightarrow \quad 2xy' = 3y,
  $$
  (para $$ y\neq0 $$). La ecuación diferencial es  
  $$
  2xy' - 3y = 0.
  $$

viii) Dada $$ y=Ce^{-x} $$:  
  Diferenciando se tiene  
  $$
  y'=-C\,e^{-x}.
  $$
  Expresando $$ C $$ en función de $$ y $$:  
  $$
  C = y\,e^{x},
  $$
  se sustituye en la derivada y se obtiene  
  $$
  y'=-y.
  $$
  La ecuación diferencial es  
  $$
  y'+y=0.
  $$
i) $$ xy' - y = 0 $$ ii) $$ \sen x\, y' - y \cos x = 0 $$ iii) $$ (y')^2 = 1 - y^2 $$ o $$ y' = \sqrt{1 - y^2} $$ iv) $$ x + 2yy' = 0 $$ v) $$ y + x\,y' = 0 $$ vi) $$ x - y\,y' = 0 $$ vii) $$ 2xy' - 3y = 0 $$ viii) $$ y' + y = 0 $$

Obtener la ecuación diferencial asociada a:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions