49.- En la calle de una urbanización se quieren colocar
farolas. Si se colocan cada 12 m , cada 18 m o cada 25 m ,
coinciden una al principio y otra al final. a) ¿Cuál es la
longitud mínima de la calle?; b) ¿Cuântas farolas se
necesitarán en cada caso?

Question

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**a) Determinación de la longitud mínima de la calle**

Para que se coloquen farolas al principio y al final de la calle con los intervalos dados, la longitud de la calle debe ser un múltiplo común de 12, 18 y 25. La longitud mínima será el mínimo común múltiplo (mcm) de estos números.

1. Descomponemos en factores primos:
   - $$12 = 2^2 \times 3$$
   - $$18 = 2 \times 3^2$$
   - $$25 = 5^2$$

2. Tomamos todos los factores primos con sus mayores exponentes:
   - De $$2$$: máximo exponente es $$2^2$$.
   - De $$3$$: máximo exponente es $$3^2$$.
   - De $$5$$: máximo exponente es $$5^2$$.

3. Calculamos el mcm:
   $$
   \text{mcm} = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 4 \times 9 \times 25 = 900
   $$

Por lo tanto, la longitud mínima de la calle es $$900 \, \text{m}$$.

---

**b) Número de farolas necesarias en cada caso**

Las farolas se colocan empezando en el inicio de la calle y en el final. Si el espacio entre farolas es $$d$$ y la longitud de la calle es $$L$$, el número de farolas es:
$$
\frac{L}{d} + 1
$$

1. **Cada $$12 \, \text{m}$$:**
   $$
   \frac{900}{12} + 1 = 75 + 1 = 76 \text{ farolas}
   $$

2. **Cada $$18 \, \text{m}$$:**
   $$
   \frac{900}{18} + 1 = 50 + 1 = 51 \text{ farolas}
   $$

3. **Cada $$25 \, \text{m}$$:**
   $$
   \frac{900}{25} + 1 = 36 + 1 = 37 \text{ farolas}
   $$

---

**Respuesta final:**

- La longitud mínima de la calle es $$900 \, \text{m}$$.
- Se necesitan:
  - $$76$$ farolas para un intervalo de $$12 \, \text{m}$$.
  - $$51$$ farolas para un intervalo de $$18 \, \text{m}$$.
  - $$37$$ farolas para un intervalo de $$25 \, \text{m}$$.
**a) Longitud mínima de la calle: 900 metros** **b) Número de farolas necesarias:** - **Cada 12 metros:** 76 farolas - **Cada 18 metros:** 51 farolas - **Cada 25 metros:** 37 farolas

49.- En la calle de una urbanización se quieren colocar
farolas. Si se colocan cada 12 m , cada 18 m o cada 25 m ,
coinciden una al principio y otra al final. a) ¿Cuál es la
longitud mínima de la calle?; b) ¿Cuântas farolas se
necesitarán en cada caso?

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longitud mínima de la calle?; b) ¿Cuântas farolas se
necesitarán en cada caso?