En un proceso se ha determinado el ingreso marginal esta determinado por \( R^{\prime}(q)=16-12 \mathrm{q}-3 \) Determine la función de ingreso total y la función de la demanda cuando q es 10

Se nos da que el ingreso marginal es   R′(q) = 16 – 12q – 3. Paso 1. Simplificación del ingreso marginal Podemos simplificar la función:   16 – 12q – 3 = (16 – 3) – 12q = 13 – 12q. Por lo tanto, R′(q) = 13 – 12q. Paso 2. Determinar la función de ingreso total Recordamos que el ingreso total R(q) se obtiene integrando el ingreso marginal:   R(q) = ∫ R′(q)dq = ∫ (13 – 12q) dq. Realizamos la integración:   ∫ 13 dq = 13q  y  ∫ 12q dq = 12·(q²/2) = 6q². Entonces,   R(q) = 13q – 6q² + C, donde C es la constante de integración. Usualmente se asume que cuando la cantidad q es 0, el ingreso total es 0 (R(0) = 0). Esto implica:   R(0) = 13·0 – 6·0² + C = 0 ⟹ C = 0. Por lo tanto, la función de ingreso total es:   R(q) = 13q – 6q². Paso 3. Determinar la función de demanda La función de demanda (o función precio-cantidad), en el contexto de ingresos, se obtiene al relacionar el precio P(q) con la cantidad vendida q. Como el ingreso total se define también como   R(q) = P(q) · q, tenemos que, para q > 0,   P(q) = R(q)/q = (13q – 6q²)/q. Simplificando:   P(q) = 13 – 6q. Esta es la función de demanda (o función inversa de la demanda). Paso 4. Evaluación cuando q es 10 Sustituimos q = 10 en la función de demanda:   P(10) = 13 – 6·10 = 13 – 60 = –47. Comentario sobre el resultado: Obtener un precio negativo (P = –47) para q = 10 indica que, en el modelo planteado, producir 10 unidades excedería el rango razonable en el que la relación precio-cantidad tiene sentido desde el punto de vista económico. Esto nos puede sugerir que dicho modelo es válido solo para valores de q que no hagan que el precio sea negativo. En muchos modelos económicos, se tiene un rango de cantidades para el cual la función de demanda es válida, y el precio negativo no presenta interpretación práctica. Resumen de la respuesta: 1. Función de ingreso total:   R(q) = 13q – 6q². 2. Función de demanda (precio en función de la cantidad):   P(q) = 13 – 6q. 3. Para q = 10:   P(10) = –47. Esta es la solución completa según la información suministrada.