\begin{tabular}{l}$$ \mathrm{A}(5 ;-5 ; 2), \mathrm{B}(-1 ; 1 ; 0), \mathrm{C}(0 ; 1 ; 2) $$ et $$ \mathrm{D}(6 ; 6 ;-1) $$. $$ (-1) $$ \ 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD . \ On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $$ \mathcal{V}=\frac{1}{3} \mathcal{B} imes h $$, où $$ \mathcal{B} $$ \ est l'aire d'une base du tétraèdre et $$ h $$ la hauteur correspondante. \ 6. On admet que $$ \mathrm{AB}=\sqrt{76} $$ et $$ \mathrm{AC}=\sqrt{61} $$. \ Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$. \ \hline\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l}$$ \mathrm{A}(5 ;-5 ; 2), \mathrm{B}(-1 ; 1 ; 0), \mathrm{C}(0 ; 1 ; 2) $$ et $$ \mathrm{D}(6 ; 6 ;-1) $$. $$ (-1) $$ \ 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD . \ On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $$ \mathcal{V}=\frac{1}{3} \mathcal{B} 	imes h $$, où $$ \mathcal{B} $$ \ est l'aire d'une base du tétraèdre et $$ h $$ la hauteur correspondante. \ 6. On admet que $$ \mathrm{AB}=\sqrt{76} $$ et $$ \mathrm{AC}=\sqrt{61} $$. \ Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$. \ \hline\end{tabular}

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder en deux étapes :

1. **Calculer le volume du tétraèdre ABCD.**
2. **Déterminer l'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$.**

### Étape 1 : Calcul du volume du tétraèdre ABCD

Le volume $$ \mathcal{V} $$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

$$
\mathcal{V} = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \right|
$$

où $$ \vec{AB} $$, $$ \vec{AC} $$, et $$ \vec{AD} $$ sont les vecteurs formés par les points A, B, C, et D.

#### Calcul des vecteurs

1. **Calcul de $$ \vec{AB} $$** :
   $$
   \vec{AB} = B - A = (-1 - 5, 1 - (-5), 0 - 2) = (-6, 6, -2)
   $$

2. **Calcul de $$ \vec{AC} $$** :
   $$
   \vec{AC} = C - A = (0 - 5, 1 - (-5), 2 - 2) = (-5, 6, 0)
   $$

3. **Calcul de $$ \vec{AD} $$** :
   $$
   \vec{AD} = D - A = (6 - 5, 6 - (-5), -1 - 2) = (1, 11, -3)
   $$

#### Produit vectoriel $$ \vec{AC} \times \vec{AD} $$

Calculons le produit vectoriel $$ \vec{AC} \times \vec{AD} $$ :

$$
\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-5 & 6 & 0 \
1 & 11 & -3
\end{vmatrix}
$$

Calculons ce déterminant :

$$
\vec{AC} \times \vec{AD} = \hat{i}(6 \cdot (-3) - 0 \cdot 11) - \hat{j}(-5 \cdot (-3) - 0 \cdot 1) + \hat{k}(-5 \cdot 11 - 6 \cdot 1)
$$

$$
= \hat{i}(-18) - \hat{j}(15) + \hat{k}(-55 - 6)
$$

$$
= (-18, -15, -61)
$$

#### Produit scalaire $$ \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) $$

Calculons maintenant le produit scalaire :

$$
\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = (-6, 6, -2) \cdot (-18, -15, -61)
$$

$$
= (-6)(-18) + (6)(-15) + (-2)(-61)
$$

$$
= 108 - 90 + 122 = 140
$$

#### Volume du tétraèdre

Maintenant, nous pouvons calculer le volume :

$$
\mathcal{V} = \frac{1}{6} \left| 140 \right| = \frac{140}{6} \approx 23.33
$$

### Étape 2 : Détermination de l'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$

Pour déterminer l'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$, nous utiliserons la formule du cosinus :

$$
\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}
$$

#### Calcul du produit scalaire $$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} $$

$$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-6)(-5) + (6)(6) + (-2)(0) = 30 + 36 + 0 = 66
$$

#### Normes des vecteurs

Nous avons déjà $$ |\vec{AB}| = \sqrt{76} $$ et $$ |\vec{AC}| = \sqrt{61} $$.

#### Calcul de $$ \cos(\theta) $$

$$
\cos(\theta) = \frac{66}{\sqrt{76} \cdot \sqrt{61}}
$$

Calculons $$ \sqrt{76} \cdot \sqrt{61} $$ :

$$
\sqrt{76} \cdot \sqrt{61} = \sqrt{76 \cdot 61}
$$

Calculons $$ 76 \cdot 61 $$ :

$$
76 \cdot 61 = 4636
$$

Donc,

$$
\cos(\theta) = \frac{66}{\sqrt{4636}}
$$

Calculons $$ \sqrt{4636} $$ :

$$
\sqrt{4636} \approx 68.06
$$

Ainsi,

$$
\cos(\theta) \approx \frac{66}{68.06} \approx 0.968
$$

#### Calcul de l'angle

Pour trouver l'angle $$ \theta $$, nous utilisons la fonction arccos :

$$
\theta \approx \arccos(0.968)
$$

Calculons cela pour obtenir une valeur approchée :

$$
\theta \approx 14.5^\circ
$$

### Résumé des résultats

1. Le volume du tétraèdre ABCD est d'environ $$ 23.33 $$.
2. L'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$ est d'environ $$ 14.5^\circ $$.
Le volume du tétraèdre ABCD est d'environ 23.33. L'angle $$ \widehat{\mathrm{BAC}} $$ est d'environ 14.5°.

et .

5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD .

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule , où

est l'aire d'une base du tétraèdre et la hauteur correspondante.

6. On admet que et .

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle .

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et . 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD . On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule , où est l'aire d'une base du tétraèdre et la hauteur correspondante. 6. On admet que et . Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle .