Objetivo I. 1 a) Dado los conjuntos: \[ \begin{aligned} \mathrm{A} & =\left\{\frac{\mathrm{x}^{2}-1}{2 \mathrm{x}} / \mathrm{x} \in \mathbb{N} ; 3<\frac{5 \mathrm{x}-3}{4}<8\right\} \\ \mathrm{B} & =\left\{\frac{2 \mathrm{x}-1}{\mathrm{x}} / 5<\mathrm{x}<13, \mathrm{x} \text { par }\right\} \\ \mathrm{C} & =\left\{\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots, \frac{11}{12}, \frac{12}{13}\right\}\end{aligned} \] Determine cuántos elementos tiene el conjunto:

Para encontrar cuántos elementos tiene el conjunto \( A \), primero debemos resolver la condición para \( x \) en \( A \): La desigualdad \( 3 < \frac{5x - 3}{4} < 8 \) se puede descomponer en dos partes: 1. \( 3 < \frac{5x - 3}{4} \) - Multiplicando por 4: \( 12 < 5x - 3 \) - Sumando 3: \( 15 < 5x \) - Dividiendo entre 5: \( 3 < x \) 2. \( \frac{5x - 3}{4} < 8 \) - Multiplicando por 4: \( 5x - 3 < 32 \) - Sumando 3: \( 5x < 35 \) - Dividiendo entre 5: \( x < 7 \) Entonces, para \( A \) tenemos \( 3 < x < 7 \) y dado que \( x \in \mathbb{N} \), los posibles valores son \( x = 4, 5, 6 \). Ahora evaluemos \( A \) con estos valores: - Para \( x = 4 \): \( \frac{x^2 - 1}{2x} = \frac{16 - 1}{8} = \frac{15}{8} \) - Para \( x = 5 \): \( \frac{x^2 - 1}{2x} = \frac{25 - 1}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \) - Para \( x = 6 \): \( \frac{x^2 - 1}{2x} = \frac{36 - 1}{12} = \frac{35}{12} \) Hasta ahora, \( A = \left\{\frac{15}{8}, \frac{12}{5}, \frac{35}{12}\right\} \) tiene 3 elementos. Ahora, consideremos el conjunto \( B \) donde \( 5 < x < 13 \) y \( x \) es par: Los números pares en este rango son \( 6, 8, 10, 12 \). Evaluamos \( B \) para estos valores: - Para \( x = 6 \): \( \frac{2 \cdot 6 - 1}{6} = \frac{12 - 1}{6} = \frac{11}{6} \) - Para \( x = 8 \): \( \frac{2 \cdot 8 - 1}{8} = \frac{16 - 1}{8} = \frac{15}{8} \) - Para \( x = 10 \): \( \frac{2 \cdot 10 - 1}{10} = \frac{20 - 1}{10} = \frac{19}{10} \) - Para \( x = 12 \): \( \frac{2 \cdot 12 - 1}{12} = \frac{24 - 1}{12} = \frac{23}{12} \) Así que el conjunto \( B \) tiene 4 elementos: \( B = \left\{\frac{11}{6}, \frac{15}{8}, \frac{19}{10}, \frac{23}{12}\right\} \). Finalmente, el conjunto \( C \) ya está definido con los valores \( C = \left\{\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots, \frac{12}{13}\right\} \), que tiene 11 elementos. Ahora tenemos los elementos en los conjuntos: - \( |A| = 3 \) - \( |B| = 4 \) - \( |C| = 11 \) Para encontrar el total de elementos únicos de \( A \cup B \cup C \), hay que verificar si hay intersecciones. En este caso, \( \frac{15}{8} \) está en ambos conjuntos \( A \) y \( B \). Por lo tanto, sumamos los elementos: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| = 3 + 4 + 11 - 1 = 17 \] Así que, el conjunto \( |A \cup B \cup C| \) tiene **17 elementos**.