$$ \int \frac { \sqrt { \frac { \sqrt { x - 1 } } { \sqrt { x } } } + \sqrt { \sin x \ln x } } { \sqrt { an ^ { - 1 } ( \sqrt { 1 - 9000 ^ { x } } ) } } d x $$

Question

$$ \int \frac { \sqrt { \frac { \sqrt { x - 1 } } { \sqrt { x } } } + \sqrt { \sin x \ln x } } { \sqrt { 	an ^ { - 1 } ( \sqrt { 1 - 9000 ^ { x } } ) } } d x $$

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Considere a integral

$$
\int \frac{ \sqrt{\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}} + \sqrt{\sin x\, \ln x} }{ \sqrt{ \tan^{-1}\Bigl(\sqrt{1-9000^{x}}\Bigr) } }\, dx.
$$

Analisando o integrando, notamos que ele é composto por expressões bastante complexas. Em particular:

1. O primeiro termo no numerador pode ser reescrito como

$$
   \sqrt{\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}} = \left(\frac{x-1}{x}\right)^{\frac{1}{4}}.
   $$

2. O segundo termo é

$$
   \sqrt{\sin x\, \ln x}.
   $$

3. O denominador é

$$
   \sqrt{ \tan^{-1}\Bigl(\sqrt{1-9000^{x}}\Bigr) }.
   $$

Ao observar os termos, percebe-se que cada parcela depende de funções diferentes (funções racionais, trigonométricas, logarítmicas e inversa da função tangente) e a presença do termo $$9000^x$$ dentro de uma raiz e depois dentro de uma função inversa de tangente complica ainda mais qualquer tentativa de encontrar uma substituição que “junte” as partes.

Não há indicação de que uma escolha de variável (ou uma combinação de mudanças de variável) permita reduzir o integrando a um formato conhecido ou a uma soma de integrais elementares. Portanto, pode-se concluir que a antiderivada da integral apresentada não pode ser expressa em termos de funções elementares.

Em muitos casos, integrais com essa complexidade só podem ser representadas em termos de funções especiais ou deixadas na forma de uma primitiva definida pela própria integral.

Assim, a resposta final é que:

$$
\int \frac{ \sqrt{\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}} + \sqrt{\sin x\, \ln x} }{ \sqrt{ \tan^{-1}\Bigl(\sqrt{1-9000^{x}}\Bigr) } }\, dx
$$

não possui uma antiderivada que possa ser escrita em termos de funções elementares.
A integral dada não pode ser expressa em termos de funções elementares.

\( \int \frac { \sqrt { \frac { \sqrt { x - 1 } } { \sqrt { x } } } + \sqrt { \sin x \ln x } } { \sqrt { \tan ^ { - 1 } ( \sqrt { 1 - 9000 ^ { x } } ) } } d x \)

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