d) Se sabe que Venus le da la vuelta al Sol cada 225 dias y Marte cada 687 dias. Además, se sabe que la última vez qu
Venus, Tierra y Marte se alinearon fue hace 1805645 dias. ¿En cuánto tiempo se volverán a alinear los tres planeta
en el mismo punto?
e) Se requiere pintar una casa pequeña. Se calcula que, se necesitarán 12 litros de pintura roja, 24 de pintura verde y 16
de pintura blanca. También se quiere comprar botes de pintura con la misma cantidad de litros y que el número de
botes sea el menor posible. ¿De cuántos litros debe ser cada bote de pintura?
en
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Question

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**d) Cálculo del tiempo para que se alineen Venus, Tierra y Marte**

1. Se conocen los períodos:
   - Venus: $$225$$ días.
   - Tierra: $$365$$ días.
   - Marte: $$687$$ días.

2. La alineación de los tres planetas se da cada múltiplo común de sus períodos; es decir, cada 
   $$
   \text{mcm}(225, 365, 687)
   $$
   días.

3. Se factoriza cada período:
   - $$225 = 3^2 \times 5^2$$.
   - $$365 = 5 \times 73$$.
   - $$687 = 3 \times 229$$.

4. Se toma el mayor exponente de cada factor primo para obtener el mínimo común múltiplo:
   $$
   \text{mcm}(225, 365, 687) = 3^2 \times 5^2 \times 73 \times 229.
   $$

5. Se calculan los productos parciales:
   - $$3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 225$$.
   - Entonces, $$225 \times 73 = 16\,425$$.
   - Finalmente, $$16\,425 \times 229 = 3\,761\,325$$.

Así, la alineación se repite cada 
   $$
   3\,761\,325 \text{ días}.
   $$

6. Se sabe que la última alineación ocurrió hace $$1\,805\,645$$ días, por lo que el tiempo que falta para la siguiente alineación es:
   $$
   3\,761\,325 - 1\,805\,645 = 1\,955\,680 \text{ días}.
   $$

**Respuesta d):** Los tres planetas se volverán a alinear en $$1\,955\,680$$ días.

---

**e) Cálculo del volumen de cada bote de pintura**

1. Se necesitan:
   - $$12$$ litros de pintura roja.
   - $$24$$ litros de pintura verde.
   - $$16$$ litros de pintura blanca.

2. Se desea comprar botes de la misma capacidad, utilizando el menor número posible de botes. Esto se logra escogiendo la mayor cantidad posible de litros por bote, que debe ser un divisor común de $$12$$, $$24$$ y $$16$$. Es decir, se debe hallar el máximo común divisor (mcd).

3. Se factoriza cada número:
   - $$12 = 2^2 \times 3$$.
   - $$24 = 2^3 \times 3$$.
   - $$16 = 2^4$$.

4. El mcd se obtiene tomando el menor exponente en los factores primos comunes. El único factor común es el $$2$$:
   $$
   \text{mcd}(12, 24, 16) = 2^2 = 4.
   $$

**Respuesta e):** Cada bote debe contener $$4$$ litros.
**d) Los tres planetas se volverán a alinear en 1,955,680 días.** **e) Cada bote debe contener 4 litros de pintura.**

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