117.14. \( y=x e^{-x} \)

**Dominio de la función** La función \( y = x e^{-x} \) está definida para todo \( x \in \mathbb{R} \), ya que tanto \( x \) como \( e^{-x} \) están definidos en todos los reales. --- **Cálculo de la derivada primera** Calculamos la derivada de \( y \) usando la regla del producto. Si: \[ y = x \cdot e^{-x}, \] entonces, aplicando la derivada del producto, \[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}). \] Recordando que \(\frac{d}{dx}(x) = 1\) y \(\frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}\), se tiene: \[ y' = 1\cdot e^{-x} + x\cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x}. \] Factorizamos \( e^{-x} \): \[ y'= e^{-x}(1-x). \] --- **Puntos críticos y extremos relativos** Para encontrar los puntos críticos igualamos \( y' \) a cero: \[ e^{-x}(1-x)=0. \] Dado que \(e^{-x} > 0\) para todo \(x\), se reduce a: \[ 1-x=0 \quad \Longrightarrow \quad x=1. \] Evaluamos la función en \( x=1 \): \[ y(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}. \] Por lo tanto, la función tiene un extremo relativo en el punto \(\left(1, \frac{1}{e}\right)\). Además, analizando el signo de \( y' \): - Para \( x<1 \): \(1-x>0 \) y, como \(e^{-x}>0\), \(y'>0\) (la función es creciente). - Para \( x>1 \): \(1-x<0 \) y \( y' <0\) (la función es decreciente). Por ello, en \( x=1 \) se obtiene un **máximo relativo**. --- **Cálculo de la derivada segunda** Para determinar la concavidad y los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada \( y'' \). Partimos de: \[ y'=e^{-x}(1-x). \] Utilizamos nuevamente la regla del producto para derivar: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(e^{-x}\right)(1-x) + e^{-x}\frac{d}{dx}(1-x). \] Sabemos que \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=-e^{-x}\) y \(\frac{d}{dx}(1-x)=-1\). Por lo tanto, \[ y'' = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1)= -e^{-x}(1-x) - e^{-x}. \] Factorizamos \( -e^{-x} \): \[ y'' = -e^{-x}\left[(1-x)+1\right] = -e^{-x}(2-x). \] --- **Punto de inflexión** El punto de inflexión se encuentra al resolver \( y''=0 \): \[ -e^{-x}(2-x)=0. \] De nuevo, \( e^{-x} \neq 0 \) para todo \( x \), así que: \[ 2-x=0 \quad \Longrightarrow \quad x=2. \] Para determinar el cambio de concavidad, se analiza el signo de \( y'' \): - Para \( x<2 \), por ejemplo en \( x=0 \): \[ y''(0) = -e^{0}(2-0)= -2 <0, \] lo que indica que la función es cóncava hacia abajo. - Para \( x>2 \), por ejemplo en \( x=3 \): \[ y''(3) = -e^{-3}(2-3)= -e^{-3}(-1)= e^{-3}>0, \] lo que indica que la función es cóncava hacia arriba. Por lo tanto, en \( x=2 \) se tiene un **punto de inflexión**. --- **Resumen** - **Función:** \( y=x e^{-x} \) - **Dominio:** \( \mathbb{R} \). - **Derivada primera:** \( y'= e^{-x}(1-x) \). - **Máximo relativo:** Se obtiene en \( x=1 \) con \( y(1)=\frac{1}{e} \). - **Derivada segunda:** \( y''=-e^{-x}(2-x) \). - **Punto de inflexión:** Se encuentra en \( x=2 \) donde cambia la concavidad. Estos pasos permiten analizar por completo el comportamiento local y la curvatura de la función \( y=x e^{-x} \).