\( (2xy-4x^{3})dx=(2y-x^{2})dy \)

Sea la ecuación diferencial \[ (2xy - 4x^3)\,dx = (2y - x^2)\,dy. \] Primero la reescribimos en la forma \[ (2xy - 4x^3)\,dx - (2y - x^2)\,dy = 0. \] Definimos las funciones \[ M(x,y) = 2xy - 4x^3 \quad \text{y} \quad N(x,y) = -\left(2y - x^2\right) = x^2 - 2y. \] Para verificar si la ecuación es exacta, calculamos las derivadas parciales: \[ M_y = \frac{\partial}{\partial y}(2xy - 4x^3) = 2x, \] \[ N_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 2y) = 2x. \] Como \( M_y = N_x \), la ecuación es exacta. Dado que la ecuación es exacta, existe una función potencial \( \psi(x,y) \) tal que \[ \psi_x(x,y) = 2xy - 4x^3 \quad \text{y} \quad \psi_y(x,y) = x^2 - 2y. \] Procedemos a determinar \( \psi(x,y) \). 1. **Integrar \( \psi_x(x,y) \) respecto a \( x \):** \[ \psi(x,y) = \int \psi_x(x,y)\,dx = \int (2xy - 4x^3)\,dx. \] Realizando la integración: \[ \psi(x,y) = x^2y - x^4 + h(y), \] donde \( h(y) \) es una función arbitraria de \( y \). 2. **Determinar \( h(y) \) utilizando \( \psi_y(x,y) \):** Derivamos \( \psi(x,y) \) respecto a \( y \): \[ \psi_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y - x^4 + h(y)) = x^2 + h'(y). \] Pero se tiene que \[ \psi_y(x,y) = x^2 - 2y. \] Igualamos las dos expresiones: \[ x^2 + h'(y) = x^2 - 2y. \] Por lo tanto, \[ h'(y) = -2y. \] Integrando respecto a \( y \): \[ h(y) = -y^2 + C, \] donde \( C \) es una constante de integración. 3. **Escribir la función potencial completa:** Sustituyendo \( h(y) \) en la expresión de \( \psi(x,y) \): \[ \psi(x,y) = x^2y - x^4 - y^2. \] La solución general de la ecuación exacta es: \[ \psi(x,y) = C, \] es decir, \[ x^2y - x^4 - y^2 = C. \]