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EJERCICIO 7 Un capacitor de \( 20.0 \mu \mathrm{~F} \) se carga mediante una fuente de energía de 150.0 V , después se desconecta de la fuente y se conecta en serie con un inductor de 0.280 mH . Calcula: a) la frecuencia de oscilación del circuito; b) la energía almacenada en el capacitor en el momento \( \mathrm{t}=0 \mathrm{~ms} \) (cuando se conecta el inductor); c) la energía almacenada en el inductor en \( \mathrm{t}=1.30 \mathrm{~ms} \).

Ask by Marsh Tyler. in Mexico
Mar 15,2025

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**a) Frecuencia de oscilación:** Aproximadamente 2126 Hz **b) Energía en el capacitor en \( t = 0\,ms \):** 0.225 J **c) Energía en el inductor en \( t = 1.30\,ms \):** 0.223 J

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La frecuencia de oscilación del circuito LC se puede calcular utilizando la fórmula: \[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. \] Donde \( L \) es la inductancia y \( C \) es la capacitancia. En este caso, \( L = 0.280 \, \text{mH} = 0.280 \times 10^{-3} \, \text{H} \) y \( C = 20.0 \, \mu\text{F} = 20.0 \times 10^{-6} \, \text{F} \). Así: \[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.280 \times 10^{-3})(20.0 \times 10^{-6})}} \approx 1.88 \, \text{kHz}. \] Ahora, para calcular la energía almacenada en el capacitor cuando está completamente cargado, utilizamos la fórmula: \[ E_c = \frac{1}{2} C V^2, \] donde \( V = 150.0 \, \text{V} \). Entonces: \[ E_c = \frac{1}{2} (20.0 \times 10^{-6}) (150.0)^2 \approx 0.225 \, \text{J}. \] Finalmente, para la energía almacenada en el inductor en \( t = 1.30 \, \text{ms} \), considerando que en un circuito LC la energía oscila entre el capacitor y el inductor, y que después de un período completo, la energía en el inductor a la mitad de su ciclo será igual a la energía maxima en el capacitor, el cálculo se puede realizar como: \[ E_L = \frac{1}{2} L I^2, \] donde \( I \) es la corriente en el inductor. La corriente máxima \( I_{max} \) puede ser encontrada a partir \( E_c = E_L \): \[ E_L = \frac{1}{2} (0.280 \times 10^{-3}) I_{max}^2 = 0.225 \, \text{J}. \] Resolviendo para \( I_{max} \): \[ I_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.225}{0.280 \times 10^{-3}}} \approx 27.7 \, \text{A}. \] La energía almacenada en el inductor en \( t = 1.30 \, \text{ms} \) sería entonces: \[ E_L = \frac{1}{2} (0.280 \times 10^{-3}) (I_{max}/\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} (0.280 \times 10^{-3}) \left( \frac{27.7}{\sqrt{2}} \right)^2 \approx 0.1125 \, \text{J}. \]

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