EJERCICIO 7 Un capacitor de $$ 20.0 \mu \mathrm{~F} $$ se carga mediante una fuente de energía de 150.0 V , después se desconecta de la fuente y se conecta en serie con un inductor de 0.280 mH . Calcula: a) la frecuencia de oscilación del circuito; b) la energía almacenada en el capacitor en el momento $$ \mathrm{t}=0 \mathrm{~ms} $$ (cuando se conecta el inductor); c) la energía almacenada en el inductor en $$ \mathrm{t}=1.30 \mathrm{~ms} $$.

Question

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**a) Cálculo de la frecuencia de oscilación**

En un circuito LC, la pulsación angular de oscilación está dada por

$$
\omega = \frac{1}{\sqrt{L C}}.
$$

Dado que

- $$ C = 20.0\,\mu F = 20.0 \times 10^{-6}\,F $$,
- $$ L = 0.280\,mH = 0.280 \times 10^{-3}\,H $$,

se tiene

$$
L \cdot C = \left(0.280 \times 10^{-3}\right)\left(20.0 \times 10^{-6}\right) = 5.6 \times 10^{-9}\,.
$$

Entonces,

$$
\omega = \frac{1}{\sqrt{5.6 \times 10^{-9}}}\,.
$$

Calculamos la raíz:

$$
\sqrt{5.6 \times 10^{-9}} = \sqrt{5.6} \times 10^{-4.5} \approx 2.366 \times 3.1623 \times 10^{-5} \approx 7.485 \times 10^{-5}\,.
$$

De donde

$$
\omega \approx \frac{1}{7.485 \times 10^{-5}} \approx 1.336 \times 10^{4}\,\text{rad/s}\,.
$$

La frecuencia de oscilación $$ f $$ se relaciona con $$\omega$$ mediante

$$
f = \frac{\omega}{2\pi} \,.
$$

Así,

$$
f \approx \frac{1.336 \times 10^{4}}{2\pi} \approx \frac{1.336 \times 10^{4}}{6.2832} \approx 2126\,\text{Hz}\,.
$$

**b) Energía almacenada en el capacitor en $$ t = 0\,ms $$**

La energía almacenada en un capacitor viene dada por

$$
U_C = \frac{1}{2} C V^2\,.
$$

Con $$ C = 20.0 \times 10^{-6}\,F $$ y $$ V = 150.0\,V $$, se tiene

$$
U_C = \frac{1}{2} (20.0 \times 10^{-6}) (150.0)^2\,.
$$

Calculamos paso a paso:

1. $$ (150.0)^2 = 22500 $$.
2. Multiplicando: $$ 20.0 \times 10^{-6} \times 22500 = 0.45\,J $$.
3. Finalmente, $$ U_C = \frac{1}{2} \times 0.45\,J = 0.225\,J $$.

**c) Energía almacenada en el inductor en $$ t = 1.30\,ms $$**

En un circuito LC (oscilador armónico), la energía total se conserva y oscila entre el capacitor y el inductor. Si a $$ t=0 $$ la energía está completamente en el capacitor, en un instante $$ t $$ la energía en el capacitor y en el inductor se pueden expresar como

$$
U_C(t) = U_{\text{total}} \cos^2 (\omega t) \quad \text{y} \quad U_L(t) = U_{\text{total}} \sin^2 (\omega t),
$$

donde

$$
U_{\text{total}} = 0.225\,J\,.
$$

Para $$ t = 1.30\,ms = 0.00130\,s $$ y utilizando la pulsación angular calculada $$\omega \approx 1.336 \times 10^4\,rad/s$$, se tiene

$$
\omega t \approx (1.336 \times 10^4)\,(0.00130) \approx 17.37\,rad\,.
$$

Calculamos entonces

$$
U_L(0.00130\,s) = 0.225\,J \cdot \sin^2 (17.37)\,.
$$

Para evaluar $$\sin(17.37)$$, observamos que 17.37 rad se puede reducir módulo $$2\pi$$:

$$
17.37 - 2(6.2832) \approx 17.37 - 12.5664 \approx 4.8036\,rad\,.
$$

El ángulo $$4.8036\,rad$$ equivale aproximadamente a $$4.8036 \times \frac{180}{\pi} \approx 275^\circ$$. Recordando que

$$
\sin(275^\circ) \approx -0.996\,,
$$

entonces

$$
\sin^2 (17.37) \approx (-0.996)^2 \approx 0.992\,.
$$

Por lo tanto,

$$
U_L(0.00130\,s) \approx 0.225\,J \cdot 0.992 \approx 0.223\,J\,.
$$

**Resumen de respuestas**

- a) Frecuencia de oscilación: $$ f \approx 2126\,Hz $$
- b) Energía en el capacitor en $$ t = 0\,ms $$: $$ U_C \approx 0.225\,J $$
- c) Energía en el inductor en $$ t = 1.30\,ms $$: $$ U_L \approx 0.223\,J $$
**a) Frecuencia de oscilación:** Aproximadamente 2126 Hz **b) Energía en el capacitor en $$ t = 0\,ms $$:** 0.225 J **c) Energía en el inductor en $$ t = 1.30\,ms $$:** 0.223 J

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