2. $$ \int e^{x} \sqrt{1-e^{2 x}} d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea la integral

$$
\int e^x \sqrt{1-e^{2x}}\, dx.
$$

**Paso 1.** Realicemos el cambio de variable

$$
u = e^x.
$$

Diferenciando,

$$
du = e^x\, dx \quad \Rightarrow \quad e^x\, dx = du.
$$

**Paso 2.** Notar que además

$$
e^{2x} = (e^x)^2 = u^2.
$$

Por lo tanto, la integral se transforma en

$$
\int \sqrt{1-u^2}\, du.
$$

**Paso 3.** Recordamos que la integral

$$
\int \sqrt{1-u^2}\, du
$$

es una integral estándar; su solución es

$$
\frac{1}{2}\left(u\sqrt{1-u^2} + \arcsin u\right) + C.
$$

**Paso 4.** Volvemos a la variable original sustituyendo $$ u = e^x $$:

$$
\frac{1}{2}\left(e^x \sqrt{1-e^{2x}} + \arcsin \left(e^x\right)\right) + C.
$$

La solución final es

$$
\frac{1}{2}\left(e^x \sqrt{1-e^{2x}} + \arcsin \left(e^x\right)\right) + C.
$$
La integral se resuelve reemplazando $$ e^x $$ con $$ u $$, lo que simplifica la expresión a $$ \int \sqrt{1 - u^2} \, du $$. La solución es $$ \frac{1}{2}\left(u \sqrt{1 - u^2} + \arcsin u\right) + C $$. Sustituyendo $$ u = e^x $$, la respuesta final es $$ \frac{1}{2}\left(e^x \sqrt{1 - e^{2x}} + \arcsin(e^x)\right) + C $$.

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