5. $$ \frac{2 x+4}{x+2} $$ 6. $$ \frac{x^{2}-4}{x-2}= $$ 7. $$ \frac{3 x^{2}-12}{x^{2}-4}= $$ 8. $$ \frac{x^{2}-9}{x^{2}-6 x+9}= $$ 9. $$ \frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}= $$ 10. $$ \frac{8 a^{3}+27}{4 a^{2}+12 a+9}= $$

Question

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5. Dada la expresión  
$$
\frac{2x+4}{x+2}
$$  
se factoriza el numerador:
$$
2x+4=2(x+2)
$$  
por lo que se tiene  
$$
\frac{2(x+2)}{x+2}
$$  
cancelando el factor común (asumiendo $$ x \neq -2 $$) se obtiene:
$$
2
$$

6. Consideramos la expresión  
$$
\frac{x^{2}-4}{x-2}
$$  
el numerador es una diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-4=(x-2)(x+2)
$$  
por lo que la fracción se convierte en
$$
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}
$$  
cancelando la expresión $$(x-2)$$ (con $$ x \neq 2 $$) finalmente se tiene:
$$
x+2
$$

7. La expresión  
$$
\frac{3x^{2}-12}{x^{2}-4}
$$  
se comienza factorizando el numerador:
$$
3x^{2}-12=3(x^{2}-4)
$$  
y se reconoce que $$ x^{2}-4 $$ se factoriza como:
$$
x^{2}-4=(x-2)(x+2)
$$  
por lo que la fracción es:
$$
\frac{3(x^{2}-4)}{(x-2)(x+2)}
$$  
cancelando $$ x^{2}-4 $$ (con $$ x \neq 2 $$ y $$ x \neq -2 $$) se obtiene:
$$
3
$$

8. Se tiene la fracción  
$$
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}
$$  
El numerador es una diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-9=(x-3)(x+3)
$$  
y el denominador es un trinomio cuadrado perfecto:
$$
x^{2}-6x+9=(x-3)^2
$$  
por lo tanto, se puede escribir:
$$
\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}
$$  
cancelando el factor común $$(x-3)$$ (con $$ x \neq 3 $$) se llega a la expresión:
$$
\frac{x+3}{x-3}
$$

9. Para la expresión  
$$
\frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}
$$  
se identifica que el numerador es una diferencia de cubos:
$$
x^{3}-8 = x^{3}-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)
$$  
y el denominador es una diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-4=(x-2)(x+2)
$$  
por lo que la fracción se reescribe como:
$$
\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}
$$  
cancelando el factor común $$(x-2)$$ (con $$ x \neq 2 $$) se obtiene:
$$
\frac{x^2+2x+4}{x+2}
$$

10. La expresión es  
$$
\frac{8a^{3}+27}{4a^{2}+12a+9}
$$  
El numerador es una suma de cubos, ya que:
$$
8a^{3}+27=(2a)^3+3^3
$$  
utilizando la identidad de suma de cubos:
$$
u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)
$$  
con $$ u=2a $$ y $$ v=3 $$, se tiene:
$$
8a^{3}+27=(2a+3)\left(4a^{2}-6a+9\right)
$$  
El denominador es un trinomio cuadrado perfecto:
$$
4a^{2}+12a+9=(2a+3)^2
$$  
por lo que la fracción se convierte en:
$$
\frac{(2a+3)\left(4a^{2}-6a+9\right)}{(2a+3)^2}
$$  
cancelando el factor común $$(2a+3)$$ (con $$ 2a+3 \neq 0 $$) el resultado es:
$$
\frac{4a^{2}-6a+9}{2a+3}
$$
5. $$ 2 $$ 6. $$ x + 2 $$ 7. $$ 3 $$ 8. $$ \frac{x + 3}{x - 3} $$ 9. $$ \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} $$ 10. $$ \frac{4a^{2} - 6a + 9}{2a + 3} $$

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