$$ \frac { d y } { d x } + y = e ^ { x } \quad ; \quad ( b ) \cdot \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } + 3 y = 0 $$

Question

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### Ecuación (a)

Consideramos la ecuación diferencial de primer orden:
$$
\frac{dy}{dx} + y = e^x
$$

1. **Obtener el factor integrante.**  
   La forma estándar de una EDO lineal es:
   $$
   \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
   $$
   Aquí, $$P(x) = 1$$. El factor integrante es:
   $$
   \mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^x
   $$

2. **Multiplicar la EDO por el factor integrante.**  
   Multiplicamos ambos lados de la ecuación:
   $$
   e^x\frac{dy}{dx} + e^x y = e^x e^x = e^{2x}
   $$
   La expresión de la izquierda es la derivada del producto:
   $$
   \frac{d}{dx}(e^x y) = e^{2x}
   $$

3. **Integrar ambos lados.**  
   $$
   \int \frac{d}{dx}(e^x y)\,dx = \int e^{2x}\,dx
   $$
   Esto nos da:
   $$
   e^x y = \frac{e^{2x}}{2} + C
   $$
   donde $$C$$ es la constante de integración.

4. **Despejar $$y$$.**  
   $$
   y = \frac{e^{2x}}{2e^x} + \frac{C}{e^x} = \frac{1}{2}e^x + C e^{-x}
   $$

La solución de la ecuación (a) es:
$$
y(x) = \frac{1}{2}e^x + C e^{-x}
$$

---

### Ecuación (b)

Consideramos la ecuación diferencial de segundo orden:
$$
\frac{d^2 y}{dx^2} + 3y = 0
$$

1. **Plantear la ecuación característica.**  
   Suponemos que la solución es de la forma $$y = e^{rx}$$. Al sustituir en la EDO se obtiene:
   $$
   r^2 e^{rx} + 3e^{rx} = 0
   $$
   Dividiendo entre $$e^{rx}$$ (que es distinto de cero) obtenemos:
   $$
   r^2 + 3 = 0
   $$

2. **Resolver la ecuación característica.**  
   $$
   r^2 = -3 \quad \Longrightarrow \quad r = \pm i\sqrt{3}
   $$

3. **Escribir la solución general.**  
   Dado que las raíces son complejas conjugadas, la solución general es:
   $$
   y(x) = C_1 \cos(\sqrt{3}\, x) + C_2 \sin(\sqrt{3}\, x)
   $$
   donde $$C_1$$ y $$C_2$$ son constantes arbitrarias.

La solución de la ecuación (b) es:
$$
y(x) = C_1 \cos(\sqrt{3}\, x) + C_2 \sin(\sqrt{3}\, x)
$$
### Ecuación (a) La solución de la ecuación diferencial $$ \frac{dy}{dx} + y = e^x $$ es: $$ y(x) = \frac{1}{2}e^x + C e^{-x} $$ donde $$C$$ es una constante. --- ### Ecuación (b) La solución de la ecuación diferencial $$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 3y = 0 $$ es: $$ y(x) = C_1 \cos(\sqrt{3}\, x) + C_2 \sin(\sqrt{3}\, x) $$ donde $$C_1$$ y $$C_2$$ son constantes arbitrarias.

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Ecuación (a)

Ecuación (b)

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