5. 함수 $$ f(x)=\int\left(x^{2}+2 x\right) d x $$ 일 때, $$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2-h)}{h} $$ 의 값은?

Question

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1. 우선 함수 $$ f(x) $$는 부정적분으로 주어집니다. 따라서,
   $$
   f(x)=\int \left(x^2+2x\right)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C,
   $$
   여기서 $$ C $$는 적분상수입니다. (문제에서 차분을 구할 때 상수는 소거됩니다.)

2. 주어진 극한 문제는
   $$
   \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2-h)}{h}
   $$
   입니다.

3. $$ f(x) $$가 미분 가능한 함수이므로, 테일러 전개를 이용하여 $$ h $$가 작을 때,
   $$
   \begin{aligned}
   f(2+h) &= f(2)+f'(2)h+\frac{f''(2)}{2}h^2+o(h^2),\[1mm]
   f(2-h) &= f(2)-f'(2)h+\frac{f''(2)}{2}h^2+o(h^2).
   \end{aligned}
   $$
   따라서 두 식의 차이는
   $$
   f(2+h)-f(2-h)= 2f'(2)h+o(h^2).
   $$

4. 이를 식에 대입하면,
   $$
   \frac{f(2+h)-f(2-h)}{h}=2f'(2)+\frac{o(h^2)}{h}.
   $$
   $$ h \rightarrow 0 $$일 때 $$\frac{o(h^2)}{h}$$는 0이 되므로,
   $$
   \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2-h)}{h}=2f'(2).
   $$

5. 이제 $$ f(x)=\frac{x^3}{3}+x^2 $$의 도함수를 구하면,
   $$
   f'(x)=x^2+2x.
   $$
   그러므로 $$ x=2 $$에서,
   $$
   f'(2)=2^2+2\cdot 2=4+4=8.
   $$

6. 따라서 주어진 극한의 값은
   $$
   2f'(2)=2\cdot 8=16.
   $$

최종 답: $$ 16 $$.
극한의 값은 16입니다.

5. 함수 \( f(x)=\int\left(x^{2}+2 x\right) d x \) 일 때, \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2-h)}{h} \) 의 값은?

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