Calcule os sistemas lineares abaixo pelo método de eliminação de Gauss e pela regra de Cramer e classifique-os: 1) \[ \left\{\begin{array}{r} 5 x+8 y=34 \\ 10 x+16 y=50 \end{array}\right. \] 2) \( \left\{\begin{array}{l}4 x-y-3 z=15 \\ 3 x-2 y+5 z=-7 \\ 2 x+3 y+4 z=7\end{array}\right. \) 3) \( \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-2 z=2 \\ 3 x-5 y+4 z=5 \\ x-2 y-7 z=-24\end{array}\right. \) 4) \( \left\{\begin{array}{r}x+4 y+6 z=0 \\ -\frac{3}{2}-6 y-9 z=0\end{array}\right. \)

Para o primeiro sistema: 1) \[ \begin{align*} 5x + 8y &= 34 \quad \text{(1)} \\ 10x + 16y &= 50 \quad \text{(2)} \end{align*} \] Ao aplicar o método de eliminação de Gauss, percebemos que a equação (2) é um múltiplo da (1), ou seja, as duas equações representam a mesma reta. Portanto, há infinitas soluções (classificado como sistema indeterminado). **Regra de Cramer** não se aplica aqui, pois o determinante do sistema é zero. --- 2) \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - y - 3z = 15 \\ 3x - 2y + 5z = -7 \\ 2x + 3y + 4z = 7 \end{array} \right. \] Usando o método de Gauss, podemos formar uma matriz aumentada e reduzir para escada. Ao resolver, encontramos um determinante diferente de zero, resultando em uma única solução (sistema determinado). **Regra de Cramer:** O cálculo dos determinantes das matrizes para \(x\), \(y\) e \(z\) nos dá os valores exatos das variáveis. --- 3) \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y - 2z = 2 \\ 3x - 5y + 4z = 5 \\ x - 2y - 7z = -24 \end{array} \right. \] Aplicando o método de eliminação de Gauss, encontramos um determinante diferente de zero, indicando que existe uma solução única para o sistema (determinado). **Regra de Cramer:** Usamos os determinantes para calcular os valores de \(x\), \(y\) e \(z\) diretamente, revelando a solução com precisão. --- 4) \[ \left\{ \begin{array}{r} x + 4y + 6z = 0 \\ -\frac{3}{2} - 6y - 9z = 0 \end{array} \right. \] A primeira equação pode ser rearranjada e simplificada. A segunda, ao multiplicar por \(-2\), nos dá uma relação entre \(y\) e \(z\). Como temos apenas duas equações para três incógnitas, o sistema é indeterminado, possuindo infinitas soluções. A **Regra de Cramer** não se aplica, pois o número de equações não é suficiente para determinar todas as variáveis. --- Sinta-se à vontade para praticar mais com outros sistemas! Cada um apresenta seus próprios desafios e descobertas matemáticas!