Bosqueja la curva, elimina el parámetro y
encuentra la ecuación cartesiana.
y

Ask by Wells Harper. in Mexico

Mar 22,2025

Question

Bosqueja la curva, elimina el parámetro y encuentra la ecuación cartesiana. $$ x=1-t^{2} $$ y $$ \quad y=t-2 $$

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$$
\textbf{1. Expresar el parámetro en función de } y:
$$

Dado que 
$$
y = t - 2,
$$
podemos despejar $$ t $$:
$$
t = y + 2.
$$

$$
\textbf{2. Sustituir en la ecuación de } x:
$$

La ecuación de $$ x $$ es:
$$
x = 1 - t^2.
$$
Sustituyendo $$ t = y + 2 $$:
$$
x = 1 - (y + 2)^2.
$$

$$
\textbf{3. Ecuación cartesiana de la curva:}
$$

La forma final es:
$$
x = 1 - (y + 2)^2.
$$

Esta es la ecuación cartesiana de la curva.

$$
\textbf{4. Bosquejo de la curva:}
$$

La ecuación
$$
x = 1 - (y + 2)^2
$$
se puede escribir en forma de parábola:
$$
x = 1 - (y + 2)^2,
$$
lo que nos indica que:

- El vértice de la parábola es $$ (1, -2) $$.
- La parábola se abre hacia la izquierda (ya que el coeficiente de $$(y+2)^2$$ es negativo).
- Para $$ y $$ cualquier valor real, $$ (y+2)^2 \geq 0 $$, por lo que $$ x \leq 1 $$.

Puntos representativos:
- Para $$ y = -2 $$ (vértice): $$ x = 1 - (0)^2 = 1 $$.
- Para $$ y = -1 $$: $$ x = 1 - (1)^2 = 0 $$.
- Para $$ y = -3 $$: $$ x = 1 - ( -3+2)^2 = 1 - ( -1)^2 = 0 $$.

Así, la curva es una parábola con vértice $$ (1,-2) $$, simétrica respecto a la recta horizontal $$ y = -2 $$ y que se extiende hacia la izquierda.

$$
\boxed{x = 1 - (y + 2)^2}
$$
La ecuación cartesiana de la curva es $$ x = 1 - (y + 2)^2 $$.

Bosqueja la curva, elimina el parámetro y
encuentra la ecuación cartesiana.
y

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