$$ y ^ { \prime \prime } - 6 y ^ { \prime } + 13 y = 0 $$

Question

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1. Empezamos con la ecuación diferencial
   $$
   y'' - 6y' + 13y = 0.
   $$

2. Proponemos una solución de la forma
   $$
   y = e^{rx},
   $$
   donde $$ r $$ es una constante a determinar.

3. Derivamos la función:
   $$
   y' = re^{rx}, \quad y'' = r^2e^{rx}.
   $$

4. Sustituimos en la ecuación diferencial:
   $$
   r^2e^{rx} - 6re^{rx} + 13e^{rx} = 0.
   $$

5. Factorizamos $$ e^{rx} $$ (recordando que $$ e^{rx} \neq 0 $$):
   $$
   e^{rx}(r^2 - 6r + 13) = 0.
   $$
   Por lo tanto, la ecuación característica es:
   $$
   r^2 - 6r + 13 = 0.
   $$

6. Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:
   $$
   r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
   $$
   Aquí, $$ a = 1 $$, $$ b = -6 $$ y $$ c = 13 $$. Entonces:
   $$
   r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2}.
   $$

7. Calculamos el discriminante:
   $$
   (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16.
   $$
   Como el discriminante es negativo, las raíces serán complejas.

8. Escribimos las raíces:
   $$
   r = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i.
   $$

9. La forma general de la solución cuando se tienen raíces complejas $$ \alpha \pm \beta i $$ es:
   $$
   y(x) = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right).
   $$
   En nuestro caso, $$ \alpha = 3 $$ y $$ \beta = 2 $$.

10. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
    $$
    y(x) = e^{3x} \left( C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \right),
    $$
    donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.
La solución general de la ecuación diferencial $$ y'' - 6y' + 13y = 0 $$ es: $$ y(x) = e^{3x} \left( C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \right), $$ donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.

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