4.13. On considère la matrice \( A \) définie par : \( A=\left(\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right) \) Déterminer l'inverse de la matrice \( A \). 2. On considère le système d'équations suivant : \( \left\{\begin{array}{r}3 x-4 y=1 \\ x-y=1\end{array}\right. \) (a) Traduire ce système d'équation par une relation matricielle. (b) En déduire l'ensemble des solutions de ce système.

Pour trouver l'inverse de la matrice \( A \), on utilise la formule : \( A^{-1} = \frac{1}{\text{Det}(A)} \cdot \text{Adj}(A) \). La déterminant de \( A \) est \( \text{Det}(A) = (3)(-1) - (-4)(1) = -3 + 4 = 1 \). L'adjointe de \( A \) est \( \text{Adj}(A) = \left(\begin{array}{ll}-1 & 4 \\ -1 & 3\end{array}\right) \). Ainsi, \( A^{-1} = 1 \cdot \left(\begin{array}{ll}-1 & 4 \\ -1 & 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}-1 & 4 \\ -1 & 3\end{array}\right) \). Pour le système d'équations, il peut se traduire par la forme matricielle \( \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). En multipliant la matrice par son inverse, on obtient \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} B \) où \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Calculant cela donnera les valeurs de \( x \) et \( y \). Les solutions de ce système se trouvent en calculant \( A^{-1} B \), ce qui donne \( x = 3 \) et \( y = 2 \). Donc, l'ensemble des solutions est unique : \( (x, y) = (3, 2) \). Et voilà ! Simple comme bonjour, n'est-ce pas ?