3. Si se tiene la siguiente serie podemos afit \[ \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right) \] Sugerencia: Uitilice las propiedades de mos y exprese como telescópicn. a) Diverge \( n+\infty \) b) Converge y su suma es \( \ln 2 \) C) conuerge y su Jumaes d) diuerge \( a-\infty \)

Para resolver la serie \[ \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right), \] vamos a simplificar el término dentro de la suma y luego buscaremos expresarlo de manera telescópica. ### Paso 1: Simplificación del término Primero, podemos reescribir el término: \[ \ln \left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right) = \ln(n^{2}) - \ln(n^{2}-1). \] Esto se puede expresar como: \[ \ln(n^{2}) - \ln(n^{2}-1) = 2\ln(n) - \ln(n^{2}-1). \] ### Paso 2: Expresión telescópica Ahora, observemos que: \[ \ln(n^{2}-1) = \ln((n-1)(n+1)) = \ln(n-1) + \ln(n+1). \] Por lo tanto, podemos reescribir el término original como: \[ \ln \left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right) = 2\ln(n) - (\ln(n-1) + \ln(n+1)). \] Esto se convierte en: \[ \ln \left(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}\right) = 2\ln(n) - \ln(n-1) - \ln(n+1). \] ### Paso 3: Suma telescópica Ahora, podemos observar que al sumar desde \( n=2 \) hasta \( \infty \), muchos términos se cancelarán: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \left(2\ln(n) - \ln(n-1) - \ln(n+1)\right). \] Al expandir la suma, se verá así: \[ \left(2\ln(2) - \ln(1) - \ln(3)\right) + \left(2\ln(3) - \ln(2) - \ln(4)\right) + \left(2\ln(4) - \ln(3) - \ln(5)\right) + \ldots \] ### Paso 4: Cancelación de términos Al observar la serie, notamos que: - El término \( -\ln(3) \) de \( n=2 \) se cancela con el \( 2\ln(3) \) de \( n=3 \). - El término \( -\ln(4) \) de \( n=3 \) se cancela con el \( 2\ln(4) \) de \( n=4 \). - Este patrón continúa indefinidamente. ### Paso 5: Conclusión Al final, los únicos términos que no se cancelan son \( 2\ln(2) \) y el límite de \( -\ln(n+1) \) cuando \( n \) tiende a infinito, que tiende a \( -\infty \). Por lo tanto, la serie diverge. ### Respuesta final La respuesta correcta es: **a) Diverge \( n \to \infty \)**.