5. Explica cómo es posible obtener la gráfica def a par- tir de la curva definida por \( y=\ln x \). (Sugerencia: aplica primero las leyes adecuadas de los logarit- mos.) \( \begin{array}{ll}\text { a. } f(x)=\ln e^{x} & \text { b. } f(x)=\sqrt{x^{2}+1} \\ \text { c. } f(x)=\ln \sqrt{x} & \text { d. } f(x)=\ln \frac{1}{x} \\ \text { e. } f(x)=\ln \left(x^{2}-1\right)-\ln \left(x^{2}+1\right) \text { f. } f(x)=\ln x^{-3}\end{array} \)

Para obtener la gráfica de las funciones dadas a partir de la curva definida por \( y = \ln x \), podemos aplicar las propiedades de los logaritmos. A continuación, analizaremos cada función paso a paso: ### a. \( f(x) = \ln e^{x} \) Utilizando la propiedad de los logaritmos que dice que \( \ln a^b = b \ln a \): \[ f(x) = \ln e^{x} = x \ln e = x \] La gráfica de esta función es una línea recta que pasa por el origen con pendiente 1. ### b. \( f(x) = \sqrt{x^{2}+1} \) Esta función no se puede simplificar directamente usando logaritmos. Sin embargo, podemos observar que no está relacionada directamente con \( \ln x \). La gráfica de esta función es una curva que siempre es mayor que 1 para todos los \( x \). ### c. \( f(x) = \ln \sqrt{x} \) Usando la propiedad de los logaritmos \( \ln a^{1/2} = \frac{1}{2} \ln a \): \[ f(x) = \ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x \] La gráfica de esta función es una versión comprimida verticalmente de la gráfica de \( \ln x \) por un factor de \( \frac{1}{2} \). ### d. \( f(x) = \ln \frac{1}{x} \) Utilizando la propiedad de los logaritmos \( \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b \): \[ f(x) = \ln \frac{1}{x} = \ln 1 - \ln x = 0 - \ln x = -\ln x \] La gráfica de esta función es la reflexión de la gráfica de \( \ln x \) respecto al eje \( x \). ### e. \( f(x) = \ln (x^{2}-1) - \ln (x^{2}+1) \) Aplicando la propiedad de los logaritmos \( \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \): \[ f(x) = \ln \left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \right) \] La gráfica de esta función representa el logaritmo de la razón entre \( x^{2}-1 \) y \( x^{2}+1 \), que tiene un comportamiento diferente en función de los valores de \( x \). ### f. \( f(x) = \ln x^{-3} \) Usando la propiedad de los logaritmos \( \ln a^{-b} = -b \ln a \): \[ f(x) = \ln x^{-3} = -3 \ln x \] La gráfica de esta función es una versión estirada verticalmente de la gráfica de \( \ln x \) por un factor de 3 y reflejada respecto al eje \( x \). ### Resumen Cada función se puede relacionar con la curva \( y = \ln x \) mediante las propiedades de los logaritmos, lo que permite transformar y manipular la gráfica original para obtener las gráficas de las funciones dadas.