2.2.2. Ejercicios 1. Escriban los cuatro primeros términos de las sucesiones que se definen a continuación: i) \( a_{n}=3^{n}, n \geq 1 \) \( \begin{array}{l}\text { iii) } c_{1}=1 \text { ii) } b_{n}=(-1)^{n} n^{2}, n \geq 1\end{array} \) 2. Escriban una fórmula para el término general de las siguientes sucesio- nes: i) \( 1,2,4,8,16, \ldots \) ii) \( 1,8,27,64,125, \ldots \) iii) \( 2,5,8,11,14, \ldots \) iv) \( 3,-9,27,-81,243, \ldots \) \( \begin{array}{l}\text { 3. Analice si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes: } \\ \text { i) }\left\{\frac{10}{\sqrt{n+1}}\right\}\end{array} \)

1. Para cada sucesión se escriben los cuatro primeros términos: **i) Sucesión \(a_n=3^n\) para \(n\ge1\):** - \(n=1:\quad a_1=3^1=3\) - \(n=2:\quad a_2=3^2=9\) - \(n=3:\quad a_3=3^3=27\) - \(n=4:\quad a_4=3^4=81\) **ii) Sucesión \(b_n=(-1)^n\, n^2\) para \(n\ge1\):** - \(n=1:\quad b_1=(-1)^1\cdot1^2=-1\) - \(n=2:\quad b_2=(-1)^2\cdot2^2=4\) - \(n=3:\quad b_3=(-1)^3\cdot3^2=-9\) - \(n=4:\quad b_4=(-1)^4\cdot4^2=16\) **iii) Sucesión con \(c_1=1\):** Dado que solo se especifica el primer término, se asume en este ejercicio que la sucesión es constante (a menos que se indique otra regla). Por ello, se toman los cuatro primeros términos como: - \(c_1=1,\quad c_2=1,\quad c_3=1,\quad c_4=1\). 2. Se escriben fórmulas para el término general de cada sucesión: **i) Sucesión \(1,\,2,\,4,\,8,\,16,\ldots\):** Al observar que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2, se tiene que se trata de una progresión geométrica con razón \(2\) y primer término \(1\). Su término general es: \[ a_n=1\cdot2^{\,n-1}=2^{n-1} \] **ii) Sucesión \(1,\,8,\,27,\,64,\,125,\ldots\):** Se observa que \(1=1^3\), \(8=2^3\), \(27=3^3,\) etc. Por lo tanto, el término general es: \[ a_n=n^3 \] **iii) Sucesión \(2,\,5,\,8,\,11,\,14,\ldots\):** Se trata de una sucesión aritmética con primer término \(2\) y diferencia común \(3\). Su término general está dado por: \[ a_n=2+3(n-1)=3n-1 \] **iv) Sucesión \(3,\,-9,\,27,\,-81,\,243,\ldots\):** Se puede notar que \(3=3(-3)^0\), \(-9=3(-3)^1\), \(27=3(-3)^2,\) etc. Así, la fórmula del término general es: \[ a_n=3(-3)^{\,n-1} \] 3. Análisis de convergencia para la sucesión \(\left\{\frac{10}{\sqrt{n+1}}\right\}\): Se estudia el comportamiento del término cuando \(n\to\infty\). Se tiene: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{10}{\sqrt{n+1}}=0, \] pues el denominador crece sin límite y, por tanto, el cociente tiende a 0. Así, la sucesión es convergente y su límite es 0.