(a) Determine una ecuación punto-normal del plano \( \pi \) que contiene al punto \( P(1,0,-1) \) y es perpendicular a la recta \( R(x, y, z)=(1,0,3)+t(4,1,2) \). Haga un bosquejo geométrico claro de situación. (b) Dé también una ecuación paramétrica y la ecuación general del mismo.

**(a) Ecuación punto-normal del plano \( \pi \):** Para determinar una ecuación punto-normal del plano \( \pi \) que contiene al punto \( P(1,0,-1) \) y es perpendicular a la recta \( R(x, y, z) = (1,0,3) + t(4,1,2) \), seguiremos los siguientes pasos: 1. **Identificar el vector director de la recta \( R \):** La recta está dada por la parametrización \( R(x, y, z) = (1,0,3) + t(4,1,2) \), donde el vector director es \( \vec{v} = (4, 1, 2) \). 2. **Determinar el vector normal al plano \( \pi \):** Dado que el plano es perpendicular a la recta \( R \), el vector director de \( R \) será paralelo al vector normal del plano. Por tanto, el vector normal al plano \( \pi \) es también \( \vec{n} = (4, 1, 2) \). 3. **Utilizar la ecuación punto-normal del plano:** La ecuación punto-normal de un plano viene dada por: \[ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) = 0 \] Donde \( \vec{r}_0 \) es un punto en el plano (en este caso, \( P(1,0,-1) \)) y \( \vec{r} = (x, y, z) \) es un punto genérico del plano. Sustituyendo los valores: \[ 4(x - 1) + 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0 \] Simplificando: \[ 4x - 4 + y + 2z + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + y + 2z - 2 = 0 \] 4. **Bosquejo geométrico:** - **Plano \( \pi \):** Es un plano que pasa por el punto \( P(1,0,-1) \) y cuya normal es \( \vec{n} = (4,1,2) \). - **Recta \( R \):** Es una recta con dirección \( \vec{v} = (4,1,2) \) que pasa por el punto \( (1,0,3) \). - **Perpendicularidad:** El hecho de que \( \vec{v} \) sea normal al plano \( \pi \) implica que cualquier línea en \( \pi \) será perpendicular a \( R \).  *(Reemplace con un diagrama adecuado que muestre el plano, la recta y el punto P.)* **(b) Otras formas de la ecuación del plano:** 1. **Ecuación general:** Ya simplificamos la ecuación punto-normal en la parte (a): \[ 4x + y + 2z - 2 = 0 \] 2. **Ecuación paramétrica:** Para expresar el plano en forma paramétrica, necesitamos encontrar dos vectores directores que estén en el plano \( \pi \). Sabemos que el vector normal es \( \vec{n} = (4,1,2) \). Podemos elegir dos vectores que sean ortogonales a \( \vec{n} \). Por ejemplo, podemos tomar: - \( \vec{u} = (1, -4, 0) \) (ya que \( \vec{n} \cdot \vec{u} = 4(1) + 1(-4) + 2(0) = 0 \)) - \( \vec{v} = (0, 2, -1) \) (ya que \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 4(0) + 1(2) + 2(-1) = 0 \)) Entonces, la ecuación paramétrica del plano \( \pi \) es: \[ \begin{cases} x = 1 + s \cdot 1 + t \cdot 0 = 1 + s \\ y = 0 + s \cdot (-4) + t \cdot 2 = -4s + 2t \\ z = -1 + s \cdot 0 + t \cdot (-1) = -1 - t \end{cases} \] Donde \( s, t \) son parámetros reales. Simplificando: \[ \begin{cases} x = 1 + s \\ y = -4s + 2t \\ z = -1 - t \end{cases} \] **Resumen:** - **Ecuación punto-normal:** \( 4(x - 1) + 1(y) + 2(z + 1) = 0 \) - **Ecuación general:** \( 4x + y + 2z - 2 = 0 \) - **Ecuación paramétrica:** \[ \begin{cases} x = 1 + s \\ y = -4s + 2t \\ z = -1 - t \end{cases} \] Donde \( s, t \in \mathbb{R} \).