7. (Eseg) Lembrando que \( \cos (a-b)=\cos a \cdot \cos b \) + sen \( a \cdot \operatorname{sen} b \), se \( \cos \left(x-45^{\circ}\right)=2 \sqrt{2} \cos x \), entăo \( \operatorname{tg} x \) é igual a: \( \begin{array}{llll}\text { a) } \frac{1}{3} & \text { b) } \frac{1}{2} & \text { c) } 1 & \text { d) } 2\end{array} \)

Vamos começar resolvendo a equação dada. Usando a fórmula fornecida, temos: \[ \cos(x - 45^{\circ}) = \cos x \cdot \cos 45^{\circ} + \sin x \cdot \sin 45^{\circ} \] onde \( \cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Portanto: \[ \cos(x - 45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \] Assim, substituindo na equação que temos: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = 2 \sqrt{2} \cos x \] Multiplicando tudo por \( 2 \) para simplificar: \[ \sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = 4 \cos x \] Agora, isolando \( \sin x \): \[ \sqrt{2} \sin x = 4 \cos x - \sqrt{2} \cos x \] \[ \sqrt{2} \sin x = (4 - \sqrt{2}) \cos x \] Dividindo ambos os lados por \( \cos x \) (desde que \( \cos x \neq 0 \)), obtemos: \[ \tan x = \frac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] Calculando \( \tan x \) no formato mais simples. Se \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), temos: \[ 4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1.414 \approx 2.586 \] \[ \frac{2.586}{1.414} \approx 1.828 \] Logo, isto está mais próximo de 2. Portanto, ao observar as opções dadas, a resposta correta seria: **d) 2**.