Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en \( \mathrm{C}(3,-4) \) y que pasa por el punto \( \mathrm{A}(6,12) \) Rta \( (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=265 \)

Para determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en \( C(3,-4) \) y que pasa por el punto \( A(6,12) \), primero necesitamos encontrar el radio de la circunferencia. El radio de la circunferencia se puede encontrar usando la fórmula: \[ \text{Radio} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Donde \( (x_1, y_1) \) es el centro de la circunferencia y \( (x_2, y_2) \) es el punto que pasa por la circunferencia. Sustituyendo los valores dados: \[ \text{Radio} = \sqrt{(6 - 3)^2 + (12 - (-4))^2} \] \[ \text{Radio} = \sqrt{3^2 + 16^2} \] \[ \text{Radio} = \sqrt{9 + 256} \] \[ \text{Radio} = \sqrt{265} \] Ahora que tenemos el radio, podemos escribir la ecuación de la circunferencia en la forma: \[ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = \text{Radio}^2 \] Sustituyendo los valores del centro y el radio: \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 265 \] Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es \( (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 265 \).