31 Le plan est muni d'un repère orthonormé ( $$ \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} $$ ). La droite (D) coupe (OI) au point A d'abscisse 2 et (OJ) au point $$ B $$ d'ordonnée $$ \sqrt{3} $$. (L) hassont par $$ \mathrm{E}\left(2 ;-\frac{7}{2}\right) $$ at ternenn lans airie a D Situations d'évaluat

Question

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Soit un repère orthonormé $$(\mathrm{O},\mathrm{I},\mathrm{J})$$.

**1. Équation de la droite $$(D)$$**

La droite $$(D)$$ coupe l’axe $$(\mathrm{OI})$$ en $$A(2;0)$$ et l’axe $$(\mathrm{OJ})$$ en $$B(0;\sqrt{3})$$.

- Calcul de la pente de $$(D)$$ :
  $$
  m_D=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\sqrt{3}-0}{0-2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  $$

- On utilise le point $$A(2;0)$$ pour écrire l’équation sous la forme point-pente :
  $$
  y-0=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-2).
  $$
  Ainsi, l’équation de $$(D)$$ est :
  $$
  y=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-2) \quad \text{ou, en développant,} \quad y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}.
  $$

**2. Équation de la droite $$(L)$$**

La droite $$(L)$$ passe par le point $$E\left(2; -\frac{7}{2}\right)$$ et est perpendiculaire à $$(D)$$.

- La pente de $$(L)$$ est l’opposée de l’inverse de celle de $$(D)$$ :
  $$
  m_L=-\frac{1}{m_D}=-\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
  $$

- En utilisant la forme point-pente avec $$E\left(2; -\frac{7}{2}\right)$$, on obtient :
  $$
  y -\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}(x-2),
  $$
  ce qui se réécrit :
  $$
  y+\frac{7}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}(x-2).
  $$
  Ainsi, l’équation de $$(L)$$ est :
  $$
  y =\frac{2}{\sqrt{3}}(x-2)-\frac{7}{2}.
  $$

**3. Recherche du point d'intersection $$(I)$$ entre $$(D)$$ et $$(L)$$**

On a :
- Pour $$(D)$$ : 
  $$
  y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}.
  $$
- Pour $$(L)$$ :
  $$
  y =\frac{2}{\sqrt{3}}(x-2)-\frac{7}{2}.
  $$

On égalise les deux expressions de $$y$$ :
$$
-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}(x-2)-\frac{7}{2}.
$$

Pour éliminer les dénominateurs, multiplions l’équation par $$2\sqrt{3}$$ :

- Terme par terme :
  $$
  2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)=-\sqrt{3}\sqrt{3}\,x=-3x,
  $$
  $$
  2\sqrt{3}(\sqrt{3})=2\cdot3=6,
  $$
  donc le côté gauche devient :
  $$
  -3x+6.
  $$
  
- Pour le côté droit :
  $$
  2\sqrt{3}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}(x-2)\right)=4(x-2),
  $$
  et
  $$
  2\sqrt{3}\left(-\frac{7}{2}\right)=-7\sqrt{3}.
  $$
  Ainsi, le côté droit devient :
  $$
  4(x-2)-7\sqrt{3}.
  $$

L’équation devient donc :
$$
-3x+6=4(x-2)-7\sqrt{3}.
$$

Développons le côté droit :
$$
4(x-2)=4x-8,
$$
donc :
$$
-3x+6=4x-8-7\sqrt{3}.
$$

Rassemblons les termes en $$x$$ :
$$
6+8+7\sqrt{3}=4x+3x,
$$
c'est-à-dire :
$$
14+7\sqrt{3}=7x.
$$

Finalement, on obtient :
$$
x=2+\sqrt{3}.
$$

Pour trouver $$y$$, remplaçons $$x$$ dans l’équation de $$(D)$$ :
$$
y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(2+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}.
$$
Calculons :
$$
-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(2+\sqrt{3}\right)=-\sqrt{3}-\frac{3}{2}.
$$
Ainsi,
$$
y=-\sqrt{3}-\frac{3}{2}+\sqrt{3}=-\frac{3}{2}.
$$

Le point d’intersection est donc :
$$
I\left(2+\sqrt{3}, -\frac{3}{2}\right).
$$
Le point d'intersection entre les droites (D) et (L) est $$ I\left(2+\sqrt{3}, -\frac{3}{2}\right) $$.

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